អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ទំព័រគំរូ:Trigonometry

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអនុគមន៍នៃមុំ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានសារសំខាន់ក្នុងការសិក្សាអំពីត្រីកោណ រង្វង់ និងម៉ូដែលនៃបាតុភូតដែលមានលក្ខណៈជាខួប។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាធម្មតាកំនត់ដោយផលធៀបរវាងជ្រុងពីរនៃត្រីកោណកែងជាមួយនឹងមុំនៃត្រីកោណនោះ និង អាចកំនត់ដោយសមមូលនឹងប្រវែងនៃអង្កត់ខុសគ្នានៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេសំដែងវាជាស៊េរីអនន្ត ឬ ជាចំលើយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ក្នុងការប្រើប្រាស់ មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះចំនួន៦គឺ

ស៊ីនុស (sin)
កូស៊ីនុស (cos)
តង់សង់ (tan ឬ tg)
កូតង់សង់ (cot ឬ cotan)
សេកង់ (sec)
កូសេកង់ (csc ឬ cosec)

. ស៊ីនុស កូស៊ីនុស និង តង់សង់ គឺត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ច្រើនជាងគេ។ អនុគមន៍សេកង់ និង កូសេកង់គឺកំរនឹងត្រូវបានគេប្រើណាស់។

ចំពោះសេចក្តីលំអិតអំពីរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ សូមមើលតារាងរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។

និយមន័យក្នុងត្រីកោណកែង

ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ ជាផលធៀបរវាង ជ្រុងឈមនៃមុំនោះនឹង អ៊ីប៉ូតេនុស។

អនុគមន៍	អក្សរបំព្រួញ	រូបមន្ត	រូបត្រីកោណកែង
ស៊ីនុស	sin	$\sin θ = \frac{B C}{C A}$	ឯកសារ:Triangle ratio.png
កូស៊ីនុស	cos	$\cos θ = \frac{A B}{C A}$
តង់សង់	tan ឬ tg	$\tan θ = \frac{B C}{A B} = \frac{\sin θ}{\cos θ}$
សេកង់	sec	$\sec θ = \frac{C A}{A B} = \frac{1}{\cos θ}$
កូសេកង់	csc ឬ cosec	$\csc θ = \frac{C A}{B C} = \frac{1}{\sin θ}$
កូតង់សង់	cot ឬ cotan	$\cot θ = \frac{A B}{B C} = \frac{\csc θ}{\sec θ} = \frac{1}{\tan θ}$

ការយល់ដឹងថាមានមាត្រដ្ឋានមួយចំនួនទាក់ទងរវាងជ្រុងនៃត្រីកោណនិងមុំនៃត្រីកោណគឺត្រូវបានគេស្គាល់ថាត្រីកោណដូចគ្នានៅរក្សាតំលៃផលធៀបរវាងជ្រុងរបស់ពួកវាដដែល។ មានន័យថា ចំពោះត្រីកោណដូចគ្នា ផលធៀបនៃអ៊ីប៉ូតេនុសនិងជ្រុងផ្សេងទៀតនៅរក្សាតំលៃដដែល។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺសំដែងជាផលធៀបទាំងនេះ។

ដើម្បីកំនត់និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះមុំ A (ក្នុងរូបមុំត្រង់កំពូល A គឺមុំ $θ$ ) ក្នុងត្រីកោណកែងដែលមានមុំ A ជាមុំកែង។ យើងប្រើប្រាស់ឈ្មោះខាងក្រោមចំពោះជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណ៖

អ៊ីប៉ូតេនុសគឺជាជ្រុងឈមនឹងមុំកែង ឬ ត្រូវបានគេអោយនិយមន័យថាគឺជាជ្រុងដែលវែងជាងគេនៃត្រីកោណកែង។
ជ្រុងឈមគឺជាជ្រុងដែលឈមនឹងមុំដែលយើងកំនត់ (ក្នុងរូបមុំដែលកំនត់គឺមុំ A ដូចនេះជ្រុងឈមនឹងមុំ A គឺជ្រុង BC) ។
ជ្រុងជាប់គឺជាជ្រុងដែលជាប់នឹងមុំដែលយើងកំនត់ និង ជាជ្រុងជាប់នឹងមុំកែង (ក្នុងរូបជ្រុងជាប់នៃមុំ A គឺជ្រុង AB) ។

គ្រប់ត្រីកោណគឺត្រូវបានកំនត់ក្នុងប្លង់អឺគ្លីត ហេតុដូចនេះផលបូកមុំផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណនិមួយៗគឺស្មើនឹង ១៨០ ដឺក្រេ ( $π$ រ៉ាដ្យង់ ) ។ ដូចនេះចំពោះត្រីកោណកែងមុំមិនកែងពីរគឺស្ថិតនៅចន្លោះពី ០ ទៅ ៩០ដឺក្រេ ( $\frac{π}{2}$ រ៉ាដ្យង់) ។ និយមន័យខាងក្រោមគឺកំនត់មុំពី ០ ទៅ ៩០ដឺក្រេ។ យើងអាចបន្លាយវាចំពោះគ្រប់សំនុំនៃអាគុយម៉ង់ពិតដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ឬ ដោយប្រើលក្ខណៈស៊ីមេទ្រី ព្រោះវាជាអនុគមន៍ខួប។

ឯកសារ:ត្រីកោណកែងត្រង់ B.png

ត្រីកោណកែងត្រង់ B

យើងតាង

អ៊ីប៉ូតេនុស (AC) ដោយ $h$
ជ្រុងឈម (BC) ដោយ $a$
ជ្រុងជាប់ (AB) ដោយ $c$

ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។

ស៊ីនុស

ស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺជាផលធៀបរវាងរង្វាស់ប្រវែងនៃជ្រុងឈម និង រង្វាស់អ៊ីប៉ូតេនុស។ គេបាន

\sin A = \frac{B C}{A C} = \frac{a}{h}

ចូរកត់សំគាល់ថាផលធៀបនេះមិនអាស្រ័យនឹងទំហំនៃត្រីកោណកែងដែលជ្រើសរើសទេ ដរាបណាវាមានមុំ A ដោយសារគ្រប់ត្រីកោណបែបនេះគឺជាត្រីកោណដូចគ្នា។

កូស៊ីនុស

កូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺជាផលធៀបរវាងរង្វាស់ជ្រុងជាប់និងរង្វាស់អ៊ីប៉ូតេនុស ។ គេបាន

\cos A = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{h}

តង់សង់

តង់សង់នៃមុំគឺជាផលធៀបរវាងជ្រុងឈមនិងជ្រុងជាប់។ គេបាន

\tan A = \frac{B C}{A B} = \frac{a}{c}

កូតង់សង់

កូតង់សង់នៃមុំ A (cot A) គឺជាចំរាស់នៃតង់សង់នៃមុំ A ( tan A) ។ មានន័យថាវាជាផលធៀបរវាងជ្រុងជាប់និងជ្រុងឈម។

\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{A B}{B C} = \frac{c}{a}

សេកង់

សេកង់នៃមុំ A (sec A) គឺជាចំរាស់នៃកូស៊ីនុសនៃមុំ A (cos A) ។ មានន័យថាវាជាផលធៀបរវាងអ៊ីប៉ូតេនុសនិងជ្រុងជាប់។

\sec A = \frac{1}{\cos A} = \frac{A C}{A B} = \frac{h}{c}

កូសេកង់

កូសេកង់នៃមុំ A (cosec A ឬ csc A) គឺជាចំរាស់នៃស៊ីនុសនៃមុំ A ។ មានន័យថាវាជាផលធៀបរវាងអ៊ីប៉ូតេនុសនិងជ្រុងឈម។

\csc A = \frac{1}{\sin A} = \frac{A C}{B C} = \frac{h}{a}

និយមន័យដោយទាញចេញពីរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះទាំង៦អាចត្រូវបានកំនត់ពីរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ដែលជារង្វង់មានកាំមានរង្វាស់ស្មើនឹង១ និង មានផ្ចិតស្ថិតនៅត្រង់គល់ O ។ និយមន័យនៃរង្វង់ត្រីកោណមាត្រផ្តល់នូវវិធីសាស្រ្តមួយចំនួនក្នុងការគណនា។ រង្វង់ត្រីកោណមាត្រអាចកំនត់នូវអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះគ្រប់មុំ (អាគុយម៉ង់ )វិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន មិនតែចំពោះមុំនៅចន្លោះពី ០ ទៅ ៩០ ដឺក្រេ (០ និង $\frac{π}{2}$ ) ប៉ុណ្ណោះទេ។

ក្នុងប្លង់ដេកាតនៃតំរុយអរតូណរមេ $(O; \vec{i}, \vec{j})$ រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ គឺជារង្វង់ផ្ចិត O និងកាំ ស្មើនឹង ១។ ប្រសិនបើយើងចាត់ទុកចំនុច A(x_A, y_A) ជាចំនុចនៅលើរង្វង់ គេបាន

\cos \hat{(\vec{i}, \vec{O A})} = x_{A}

\sin \hat{(\vec{i}, \vec{O A})} = y_{A}

ពីទ្រឹស្តីបទពីតាករសមីការរង្វង់ត្រីកោណមាត្រគឺ

x^{2} + y^{2} = 1

ពីទ្រឹស្តីបទពីតាករ វាផ្តល់នូវទំនាក់ទំនង

\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = 1

ក្នុងរូបមុំមួយចំនួនត្រូវបានអោយគិតជារ៉ាដ្យង់។ រង្វាស់មុំក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកាគឺជាមុំវិជ្ជមាន និង រង្វាស់មុំក្នុងទិសដៅផ្ទុយពីទ្រនិចនាឡិកាគឺជាមុំអវិជ្ជមាន។ តាងបន្ទាត់មួយកាត់តាមគល់តំរុយ បង្កើតបានមុំ $θ$ ជាមួយកន្លះអ័ក្សអាប់ស៊ីសផ្នែកវិជ្ជមាន ប្រសព្វជាមួយនឹងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ កូអរដោនេ x និង y នៃចំនុចប្រព្វនេះគឺស្មើនឹង $\cos θ$ និង $\sin θ$ រៀងគ្នា។ ត្រីកោណក្នុងក្រាភិកបង្កើតបានរូបមន្ត៖ កាំគឺស្មើនឹងអ៊ីប៉ូតេនុស និង មានរង្វាស់ស្មើនឹង ១ ហេតុនេះយើងបាន $\sin θ = \frac{y}{1}$ និង $\cos θ = \frac{x}{1}$ ។ រង្វង់ត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាវិធីសាស្រ្តមួយចំពោះត្រីកោណដែលមានចំនួនអនន្តដោយប្តូរប្រវែងនៃជើងរបស់វា ប៉ុន្តែរក្សាប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសរបស់ពួកវាអោយស្មើនឹង ១ ។

ចំពោះមុំដែលធំជាង $2 π$ និងតូចជាង $- 2 π$ បន្តវិលជុំវិញរង្វង់។ ក្នុងករណីនេះ ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស ក្លាយជាអនុគមន៍ខួប ដែលមានខួប $2 π$ ។

\sin θ = \sin (θ + 2 π k)

\cos θ = \cos (θ + 2 π k)

ចំពោះគ្រប់មុំ $θ$ និង ចំនួនគត់ k ។

ខួបវិជ្ជមានតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ខួបគឺត្រូវបានគេហៅថាខួបព្រីមីទីវ ឬ ខួបនៃអនុគមន៍។ ខួបព្រីមីទីវនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស សេកង់ ឬ កូសេកង់ គឺជារង្វង់ពេញ (មួយជុំរង្វង់) មានន័យថាខួបរបស់វាមានតំលៃ $2 π$ រ៉ាដ្យង់ ឬ ៣៦០ដឺក្រេ។ ខួបនៃតង់សង់ ឬ កូតង់សង់គឺកន្លះរង្វង់ (ពាក់កណ្តាលរង្វង់ ឬ កន្លះជុំ) មានន័យថាខួបរបស់វាមានតំលៃ $π$ រ៉ាដ្យង់ ឬ ១៨០ដឺក្រេ។ ខាងលើស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានកំនត់ដោយផ្ទាល់ដោយរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ ប៉ុន្តែអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះបួនផ្សេងទៀតអាចកំនត់ដោយ៖

\tan θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}, \sec θ = \frac{1}{\cos θ},

\csc θ = \frac{1}{\sin θ}, \cot θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}

អនុគមន៍ស៊ីនុស តង់សង់ និង សេកង់នៃមុំមួយសង់តាមបែបធរណីមាត្រនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ $θ$ គឺជារង្វាស់ប្រវែងខ្សែកោង (ប្រវែងធ្នូ) ហេតុនេះមុំនេះត្រូវបានគេវាស់គិតជារ៉ាដ្យង់។ អនុគមន៍សេកង់និងតង់សង់ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ឈរហើយនឹង និង អនុគមន៍ស៊ីនុសស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មានចលនា ។ (ពាក្យនឹងនៅទីនេះមានន័យថាមិនមានចលនាទៅតាមតំលៃនៃ $θ$ ទេ រីឯពាក្យមានចលនាមានន័យថាអាស្រ័យនឹង $θ$ ) ។ ដូចនេះនៅពេល $θ$ ប្រែប្រួលពី ០ ទៅ មុំកែង នោះ $\sin θ$ ប្រែប្រួលពី ០ ទៅ ១ ចំនែកឯ $\tan θ$ វិញប្រែប្រួលពី ០ ទៅអនន្ត ( $\infty$ ) និង $\sec θ$ ប្រែប្រួលពី ១ ទៅអនន្ត។	អនុគមន៍កូស៊ីនុស កូតង់សង់ និង កូសេកង់ នៃមុំ θ សង់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ដែលឈ្មោះវាផ្តើមដោយបុព្វបទ កូ ប្រើបន្ទាត់ដេក និង ក្រៅពីនេះប្រើបន្ទាត់ឈរ។
ទំព័រគំរូ:កណ្តាល	គ្រប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់នៃមុំ θ អាចសង់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រដែលមានផ្ចិត O
ទំព័រគំរូ:កណ្តាល	ទំព័រគំរូ:កណ្តាល
ទំព័រគំរូ:កណ្តាល	អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ: ស៊ីនុស, កូស៊ីនុស, តង់សង់, កូតង់សង់(dotted), សេកង់(dotted), កូតង់សង់(dotted)

ស៊ីនុសគឺជាអនុគមន៍សេស: $\forall x \in ℝ$ គេបាន $\sin (- x) = - \sin (x)$
កូស៊ីនុសគឺជាអនុគមន៍គូ: $\forall x \in ℝ$ គេបាន $\cos (- x) = \cos (x)$
តង់សង់គឺជាអនុគមន៍សេស: $\forall x \in ℝ ∖ {\frac{π}{2} + k π, k \in ℤ}$ គេបាន $\tan (- x) = - \tan (x)$

និយមន័យទាញចេញពីស៊េរី

អនុគមន៍ស៊ីនុស (ខៀវ) ខិតជិតពហុធាតេល័រដឺក្រ៧ (ពណ៌ផ្កាឈូក) ចំពោះរង្វង់ពេញ (មួយជុំរង្វង់) ដែលមានផ្ចិតត្រង់គល់ O

ដោយប្រើតែធរណីមាត្រនិងលក្ខណៈនៃលីមីត វាអាចត្រូវបានគេបង្ហាញថាដេរីវេនៃស៊ីនុសគឺជាកូស៊ីនុស និង ដេរីវេនៃកូស៊ីនុសគឺស៊ីនុសអវិជ្ជមាន។ ក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគទូទៅ គ្រប់រង្វាស់មុំត្រូវបានគេគិតជារ៉ាដ្យង់។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីនៃស៊េរីតេល័រ ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x គេបាន

ស៊ីនុស

\begin{matrix} \sin x & = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \end{matrix}

កូស៊ីនុស

\begin{matrix} \cos x & = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \dots \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} \end{matrix}

រូបមន្តទាំងនេះជួនកាលត្រូវបានជ្រើសរើសដើម្បីកំនត់និយមន័យនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។ ពួកវាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់ជាចំនុចចាប់ផ្តើមក្នុងប្រព្រឹត្តិកម្មឥតល្អៀងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង ការអនុវត្តន៍របស់ពួកវា (ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងស៊េរីហ្វួរា (Fourier series)) ពីព្រោះទ្រឹស្តីនៃស៊េរីអនន្តអាចត្រូវបានគេអភិវឌ្ឍចេញពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រព័ន្ធចំនួនពិត (real number system) ដោយមិនទាក់ទងនឹងគំនិតបែបធរណីមាត្រណាមួយទេ។ ភាពមានដេរីវេ និង ភាពជាប់នៃអនុគមន៍ទាំងនេះត្រូវបានគេបង្កើតចេញពីនិយមន័យនៃស៊េរីតែឯង។

តង់សង់

\begin{matrix} \tan x & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} 2^{2 n} (2^{2 n} - 1) B_{2 n} x^{2 n - 1}}{(2 n)!} \\ = x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \frac{17 x^{7}}{315} + \dots \end{matrix}

ចំពោះ

| x | < \frac{π}{2}

កូសេកង់

\begin{matrix} \csc x & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1} 2 (2^{2 n - 1} - 1) B_{2 n} x^{2 n - 1}}{(2 n)!} \\ = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7 x^{3}}{360} + \frac{31 x^{5}}{15120} + \dots \end{matrix}

ចំពោះ

0 < | x | < π

សេកង់

\begin{matrix} \sec x & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{U_{2 n} x^{2 n}}{(2 n)!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} E_{2 n} x^{2 n}}{(2 n)!} \\ = 1 + \frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x^{4}}{24} + \frac{61 x^{6}}{720} + \dots \end{matrix}

ចំពោះ

| x | < \frac{π}{2}

កូតង់សង់

\begin{matrix} \cot x & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} 2^{2 n} B_{2 n} x^{2 n - 1}}{(2 n)!} \\ = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^{3}}{45} - \frac{2 x^{5}}{945} - \dots \end{matrix}

ចំពោះ

0 < | x | < π

ដែល

B_n គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី n
E_n គឺជាចំនួនអយល័រទី n　និង
U_n គឺជាចំនួនឡើងចុះទី n (up/down number)

ទំនាក់ទំនងជាមួយនឹងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនិងចំនួនកុំផ្លិច

គេអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយចេញពីនិយមន័យស៊េរីដែលអនុគមន៍ស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុសគឺជាផ្នែកនិម្មិតនិងផ្នែកពិតរៀងគ្នានៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់របស់វាជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ។

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តអយល័រ ។ ក្នុងករណីនេះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្លាយជាផ្នែកមួយដ៏មានសារសំខាន់ក្នុងតំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិចវិភាគ។ ឧទាហរណ៍៖ ជាមួយនឹងរូបមន្តនេះប្រសិនបើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានគេចាត់ទុកថានៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច កំនត់ដោយ $e^{i x}$ គេអាចកំនត់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រនេះជាអនុគមន៍នៃកូស៊ីនុស (cos) និងស៊ីនុស (sin) ដែលជាទំនាក់ទំនងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចនិងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

លើសពីនេះទៅទៀត រូបមន្តអយល័រអាចអោយយើងកំនត់និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះ អាគុយម៉ង់កុំផ្លិច $z$

\sin z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} z^{2 n + 1} = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} = - i \sinh (i z)

\cos z = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} z^{2 n} = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} = \cosh (i z)

ដែល $i^{2} = - 1$ និងចំពោះចំនួនពិតសុទ្ធ $x$

\cos x = Re (e^{i x})

\sin x = Im (e^{i x})

ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

ក្នុងក្រាបខាងក្រោមគឺស្ថិតនៅក្នុងដែននៃប្លង់កុំផ្លិច និងតំលៃជាជួររបស់វាត្រូវបានបង្ហាញនៅត្រង់ចំនុចនិមួយៗដោយពណ៌។ ពណ៌ភ្លឺច្បាស់បង្ហាញពីទំហំ (តំលៃដាច់ខាត) នៃតំលៃជាជួរជាមួយពណ៌ខ្មៅជាតំលៃសូន្យ។ ពណ៌លាំៗបង្ហាញពីបំរែបំរួលនៃអាគុយម៉ង់ ឬ មុំ ដែលត្រូវបានគេវាស់ពីអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមាន។ (ព័ត៌មានបន្ថែម) ។

**ក្រាបនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច**

$\sin z$	$\cos z$	$\tan z$	$\cot z$	$\sec z$	$\csc z$

រូបមន្ត

តារាងរូបមន្តបំលែង

សញ្ញានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺអាស្រ័យនឹងកាដ្រង់ក្នុងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ ខាងក្រោមនេះជាតារាងសញ្ញានៃអនុគមន៍ទាំងនេះក្នុងកាដ្រង់ I II III និង IV នៃរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។

កាដ្រង់	sin និង csc	cos និង sec	tan និង cot
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

ខាងក្រោមនេះជាតារាងរូបមន្តបំលែងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនិមួយៗ។

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin(x)	$\sin (x)$	$\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}$	$\frac{\tan (x)}{\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}}$	$\frac{1}{\sqrt{\cot^{2} (x) + 1}}$	$\frac{\sqrt{\sec^{2} (x) - 1}}{\sec (x)}$	$\frac{1}{\csc (x)}$
cos(x)	$\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}$	$\cos (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}}$	$\frac{\cot (x)}{\sqrt{\cot^{2} (x) + 1}}$	$\frac{1}{\sec (x)}$	$\frac{\sqrt{\csc^{2} (x) - 1}}{\csc (x)}$
tan(x)	$\frac{\sin (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}{\cos (x)}$	$\tan (x)$	$\frac{1}{\cot (x)}$	$\sqrt{\sec^{2} (x) - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^{2} (x) - 1}}$
cot(x)	$\frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}{\sin (x)}$	$\frac{\cos (x)}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$	$\frac{1}{\tan (x)}$	$\cot (x)$	$\frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (x) - 1}}$	$\sqrt{\csc^{2} (x) - 1}$
sec(x)	$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$	$\frac{1}{\cos (x)}$	$\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}$	$\frac{\sqrt{\cot^{2} (x) + 1}}{\cot (x)}$	$\sec (x)$	$\frac{\csc (x)}{\sqrt{\csc^{2} (x) - 1}}$
csc(x)	$\frac{1}{\sin (x)}$	$\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2} (x)}}$	$\frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (x)}}{\tan (x)}$	$\sqrt{\cot^{2} (x) + 1}$	$\frac{\sec (x)}{\sqrt{\sec^{2} (x) - 1}}$	$\csc (x)$

រូបមន្តដេរីវេ និង អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះ

ខាងក្រោមនេះជាតារាងដេរីវេនិងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគ្រឹះទាំង៦។ ចំពោះដេរីវេ និង អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទូទៅ សូមមើល តារាងដេរីវេ តារាងអាំងតេក្រាល តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

អនុគមន៍ ( $f (x)$ )	ដេរីវេ ( $\frac{d}{d x} f (x)$ )	អាំងតេក្រាល ( $\int f (x) d x$ )
$\sin x$	$\cos x$	$- \cos x + C$
$\cos x$	$- \sin x$	$\sin x + C$
$\tan x$	$\sec^{2} x$	$- \ln \| \cos x \| + C$
$\cot x$	$- \csc^{2} x$	$\ln \| \sin x \| + C$
$\sec x$	$\sec x \tan x$	$\ln \| \sec x + \tan x \| + C$
$\csc x$	$- \csc x \cot x$	$- \ln \| \csc x + \cot x \| + C$

មុំនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

មុំផ្ទុយ	មុំបន្ថែម	មុំផលដកស្មើ $π$	មុំបំពេញ	មុំផលដកស្មើ $\frac{π}{2}$
$\cos (- α) = \cos α$ $\sin (- α) = - \sin α$ $\tan (- α) = - \tan α$ $\cot (- α) = - \cot α$	$\cos (π - α) = - \cos α$ $\sin (π - α) = \sin α$ $\tan (π - α) = - \tan α$ $\cot (π - α) = - \cot α$	$\cos (π + α) = - \cos α$ $\sin (π + α) = - \sin α$ $\tan (π + α) = \tan α$ $\cot (π + α) = \cot α$	$\cos (\frac{π}{2} - α) = \sin α$ $\sin (\frac{π}{2} - α) = \cos α$ $\tan (\frac{π}{2} - α) = \cot α$ $\cot (\frac{π}{2} - α) = \tan α$	$\cos (\frac{π}{2} + α) = - \sin α$ $\sin (\frac{π}{2} + α) = \cos α$ $\tan (\frac{π}{2} + α) = - \cot α$ $\cot (\frac{π}{2} + α) = - \tan α$

រូបមន្តផលបូកត្រីកោណមាត្រ

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$

$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \cos α \sin β$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$

$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

$\tan (α + β) = \frac{\tan α + \tan β}{1 - \tan α \tan β}$

$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$

ការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ការគណនានៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាមុខវិជ្ជាដ៏ស៊ាំញ៉ាំមួយដែលសព្វថ្ងៃការគណនាដោយមនុស្សអាចជៀសវៀងបាន ដោយសារតែការរីកចំរើននៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ និង ម៉ាស៊ីនគណនាតាមបែបវិទ្យាសាស្រ្តដែលអាចអោយយើងធ្វើការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះមុំនៅត្រង់តំលៃណាមួយ។ ក្នុងផ្នែកនេះយើងនឹងរៀបរាប់លំអិតអំពីការគណនាក្នុងបរិបទសំខាន់ៗចំនួនបីគឺ៖ បំរើបំរាស់តារាងត្រីកោណមាត្រតាំងពីបុរាណ បច្ចេកវិជ្ជាទំនើបដែលប្រើដោយកុំព្យ័ទ័រ និង មុំសំខាន់ៗមួយចំនួនដែលជាតំលៃពិតធម្មតាងាយស្រួលរក។

ជំហានដំបូងក្នុងការគណនាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺប្រើការកាត់បន្ថយចន្លោះមុំ ក្នុងចន្លោះតូចគឺពី ០ ទៅ $\frac{π}{2}$ ដោយប្រើលក្ខណៈខួប ភាពស៊ីមេទ្រី នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ដំបូងឡើយចំពោះកុំព្យូទ័រ មនុស្សបានគិតតំលៃប្រហែលៗនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដោយការកែខៃពីតារាងលំអិតនៃតំលៃរបស់ពួកវា បានគណនាចំពោះរូបសំខាន់ៗជាច្រើន។ តារាងបែបនេះមានអាចធ្វើបាន ដរាបណាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវគេបញ្ជាក់ប្រាប់ និង ត្រូវបានបង្កើតដោយការអនុវត្តន៍សារចុះសារឡើងនៃកន្លះមុំ និង រូបមន្តមុំបន្ថែមចាប់ពីតំលៃដែលគេស្គាល់ (ឧទាហរណ៍ដូចជា $\sin \frac{π}{2} = 1$ ។

កុំព្យូទ័រសម័យទំនើបប្រើប្រាស់បច្ចេកទេសផ្សេងៗគ្នាក្នុងការគណនា។ វិធិសាស្រ្តទូទៅគឺដោយផ្សំពហុធា ឬ ការប៉ានប្រមានសនិទានជាមួយការកាត់បន្ថយចន្លោះមុំ និង ការមើលតារាង ដោយមើលមុំដែលជិតជាងគេក្នុងតារាង បន្ទាប់មកប្រើពហុធាដើម្បីគណនា។

ចំពោះការគណនាអោយជាក់លាក់ក្នុងកំរិតខ្ពស់បំផុត អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចប៉ាន់តំលៃប្រហែលដោយមធ្យមនព្វន្ធ-ធរណីមាត្រ។

ចុងក្រោយចំពោះមុំធម្មតាមួយចំនួន តំលៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចគណនាបានយ៉ាងងាយដោយដៃដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ ដូចឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។ តាមពិតស៊ីនុស កូស៊ីនុស និង តង់សង់ នៃមុំជាចំនួនគត់ $\frac{π}{60}$ រ៉ាដ្យង់ (៣^០) អាចគណនាដោយដៃ។

ឧទាហរណ៍៖ គេមានត្រីកោណកែងដែលមុំពីរទៀតមានតំលៃស្មើគ្នា គឺមុំទាំងពីរស្មើនឹង $\frac{π}{4}$ (៤៥ដឺក្រ) និង ប្រវែងនៃជ្រុង b និង ជ្រុង a មានប្រវែងស្មើគ្នា ដែលយើងអាចជ្រើសរើសយក a = b = 1 ។ តំលៃនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និង តង់សង់ នៃមុំ $\frac{π}{4}$ រ៉ាដ្យង់ (៤៥^០) អាចគណនាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ។

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{2}

ហេតុនេះ

\sin (π / 4) = \sin (4 5^{\circ}) = \cos (π / 4) = \cos (4 5^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}

\tan (π / 4) = \tan (4 5^{\circ}) = \frac{\sin (π / 4)}{\cos (π / 4)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1

ដើម្បីកំនត់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចំពោះមុំ $\frac{π}{3}$ រ៉ាដ្យង់ (៦០ដឺក្រ) $\frac{π}{6}$ រ៉ាដ្យង់ (៣០ដឺក្រ) យើងប្រើត្រីកោណសម័ង្សដែលមានរង្វាស់ជ្រុងស្មើនឹង ១ ។ គ្រប់មុំនៃត្រីកោណសម័ង្សគឺ $\frac{π}{3}$ រ៉ាដ្យង់ (៦០ដឺក្រ)។ ដោយចែកវាជាពីរយើងទទួលបានត្រីកោណកែងដែលមានមុំមួយស្មើនឹង $\frac{π}{6}$ រ៉ាដ្យង់ (៣០ដឺក្រ) និង មុំមួយទៀត $\frac{π}{3}$ រ៉ាដ្យង់ (៦០ដឺក្រ)។ ចំពោះត្រីកោណនេះជ្រុងដែលខ្លីជាងគេ = $\frac{1}{2}$ និង ជ្រុងដែលវែងជាងគេ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ គឺ

\sin (π / 6) = \sin (3 0^{\circ}) = \cos (π / 3) = \cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

\cos (π / 6) = \cos (3 0^{\circ}) = \sin (π / 3) = \sin (6 0^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

\tan (π / 6) = \tan (3 0^{\circ}) = \cot (π / 3) = \cot (6 0^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}

ចំពោះសេចក្តីលំអិត សូមមើលចំនួនថេរត្រីកោណមាត្រពិត។

តំលៃពិសេសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ខាងក្រោមនេះជាតារាងតំលៃពិសេសនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាទូទៅ។

ឈ្មោះអនុគមន៍	$0 (0^{\circ})$	$\frac{π}{12} (1 5^{\circ})$	$\frac{π}{6} (3 0^{\circ})$	$\frac{π}{4} (4 5^{\circ})$	$\frac{π}{3} (6 0^{\circ})$	$\frac{5 π}{12} (7 5^{\circ})$	$\frac{π}{2} (9 0^{\circ})$
sin	$0$	$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$1$
cos	$1$	$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$0$
tan	$0$	$2 - \sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$	$\infty$
cot	$\infty$	$2 + \sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2 - \sqrt{3}$	$0$
sec	$1$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{6} + \sqrt{2}$	$\infty$
csc	$\infty$	$\sqrt{6} + \sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{2}$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{6} - \sqrt{2}$	$1$

អនុគមន៍ច្រាស់

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអនុគមន៍ខួប និងមិនមែនជាអនុគមន៍មួយទល់នឹងមួយ និង មិនមែនជាអនុគមន៍ប្រកាន់ទេ។ ក្នុងចន្លោះពិតលើដែនកំនត់ជាក់លាក់ណាមួយ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអនុគមន៍ប្រកាន់។ អនុគមន៍ច្រាស់របស់វា (arcsin, arccos, arctan, arccosec, arccotg និង arcsec) ជាទូទៅកំនត់ដោយ៖

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y
$- 1 \leq x \leq 1, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
$y = A r c s i n (x)$ លុះត្រាតែ $x = \sin (y)$
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y
$- 1 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq π$
$y = A r c c o s (x)$ លុះត្រាតែ $x = \cos (y)$
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y
$- \frac{π}{2} < y < \frac{π}{2}$
$y = A r c t a n (x)$ លុះត្រាតែ $x = \tan (y)$
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y
$(x \leq - 1$ ឬ $x \geq 1), (- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ និង $y \neq 0$ )
$y = a r c c o s e c (x)$ លុះត្រាតែ $x = c o s e c (y)$
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y
$(x \leq - 1$ ឬ $x \geq 1), (0 \leq y \leq π$ និង $y \neq \frac{π}{2})$
$y = a r c s e c (x)$ លុះត្រាតែ $x = \sec (y)$
ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត x និង y
$x ? 0, (0 < y < π$ និង $y ? \frac{π}{2})$
$y = a r c c o t g (x)$ លុះត្រាតែ $x = c o t g (y)$

អនុគមន៍ទាំងនេះអាចសរសេរក្រោមទំរង់អាំងតេក្រាលមិនកំនត់៖

$Arcsin (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$
$Arccos (x) = \int - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$
$Arctan (x) = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$
$a r c c o s e c (x) = \int - \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$
$arcsec (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$
$a r c c o t g (x) = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

សមភាពអនុវត្ត:

$\cos (Arcsin (x)) = \sqrt{1 - x^{2}}$
$\sin (Arccos (x)) = \sqrt{1 - x^{2}}$
$\sin (Arctan (x)) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$
$\tan (Arcsin (x)) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
$\tan (Arccos (x)) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$
$\cos (Arctan (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

លក្ខណៈនិងបំរើបំរាស់

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាអនុគមន៍ដ៏មានសារសំខាន់នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ។

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសពោលថាចំពោះគ្រប់ត្រីកោណមួយដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b និង c និងមុំ A, B និង C ជាមុំឈមនឹងជ្រុងទាំងនេះរៀងគ្នា គេបាន៖

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

ឬសមមូលនឹង

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

ដែល R ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC ។

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសគឺជាបន្លាយនៃទ្រឹស្តីបទពីតាករ (មានន័យថាជាករណីទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទពីតាករ)៖

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C

ឬ

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

ក្នុងរូបមន្តនេះមុំត្រង់កំពូល C គឺជាមុំឈមនឹងជ្រុងមានរង្វាស់ c ។ ទ្រឹស្តីបទនេះអាចបង្ហាញដោយចែកត្រីកោណជាពីរបំនែកត្រីកោណកែង រួចប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ។ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ជាញឹកញាប់ក្នុងការកំនត់ប្រវែងជ្រុងមួយនៃត្រីកោណនៅពេលគេស្គាល់ជ្រុងឈម និង មុំមួយ។ គេអាចប្រើវាដើម្បីរកកូស៊ីនុសនៃមុំមួយនៅពេលដែលគេស្គាល់ប្រវែងជ្រុងទាំងអស់នៃត្រីកោណ។

ទ្រឹស្តីបទតង់សង់

\frac{a + b}{a - b} = \frac{\tan [\frac{1}{2} (A + B)]}{\tan [\frac{1}{2} (A - B)]}

បំរើបំរាស់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមិនកំនត់តែនៅក្នុងត្រីកោណទេ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រជាអនុគមន៍ខួបដែលក្រាបរបស់វាត្រូវនឹងម៉ូដែលរលកដែលត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ក្នុងបាតុភូតម៉ូដែលដូចជាលំយោលនៃសំលែង ឬ រលកពន្លឺ។ សញ្ញានិមួយៗអាចត្រូវបានគេសរសេរជាផលបូក (ជាធម្មតាអនន្ត) អនុគមន៍ស៊ីនុស ឬ កូស៊ីនុសនៃដេរីវេប្រេកង់ ដែលវាជាស៊េរីហ្វួរា (Fourier series)។

ចំពោះរូបមន្តនៃទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ សូមមើលតារាងរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ។