តារាងអាំងតេក្រាល

សូមមើលនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម​សំរាប់តារាងពេញលេញចំពោះអាំងតេក្រាលប្រភេទអនុគមន៍​នីមួយៗ៖

• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

តារាងអាំងតេក្រាល

អាំងតេក្រាល ជាប្រមាណវិធីគោលមួយក្នុងចំនោមប្រមាណវិធីគោលទាំង២​នៅក្នុងគណិតវិទ្យាវិភាគ។ ដេរីវេ អាចគណនាបានដោយងាយ​ដោយប្រើដេរីវេនៃអនុគមន៍គោល ចំនែកអាំងតេក្រាលវិញតែងមានការលំបាក ជាហេតុធ្វើអោយគេចាំបាច់ពឹងលើតារាងអាំងតេក្រាល។ អត្ថបទនេះនិងណែនាំអំពីអាំងតេក្រាលសំខាន់ៗមួយចំនួន។

យើងកំនត់យក C ធ្វើជាថេរអាំងតេក្រាល ដែលអាចគណនារកបាន កាលណាគេដឹងតំលៃអាំងតេក្រាលនៅត្រង់ចំនុចមួយ។ ហេតុនេះអាំងតេក្រាល(ព្រីមីទីវ)នៃអនុគមន៍​មួយ មានចំនួនរាប់មិនអស់។

សូមរកមើលផងដែរក្នុង តារាងដេរីវេ

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ងាយ

អនុគមន៍អសនិទាន

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អសនិទាន

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\sin }^{-1}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{\sqrt{a^2-x^2}}={\cos }^{-1}\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}{\sec }^{-1}\frac{|x|}{a}+C$

$\int \frac{-dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a}{\csc }^{-1}\frac{|x|}{a}+C$

អនុគមន៍លោការី

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍លោការីត

$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C$

$\int {\log }_b(x)dx=x{\log }_b(x)-x{\log }_b(e)+C$

អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$\int e^{x}dx=e^x+C$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln (a)}+C$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

$\int \sin xdx=-\cos x+C$

$\int \cos xdx=\sin x+C$

$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C$

$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C$

$\int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C$

$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$

$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int {\cos }^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C$

(see integral of secant cubed)

$\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx$

$\int {\cos }^{n}xdx=\frac{{\cos }^{n-1}x\sin x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx$

$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln |1+x^2|+C$

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

$\int \tanh xdx=\ln |\cosh x|+C$

$\int \text{csch}xdx=\ln |\tanh \frac{x}{2}|+C$

$\int \text{sech}xdx=\arctan (\sinh x)+C$

$\int \coth xdx=\ln |\sinh x|+C$

$\int {\text{sech}}^{2}xdx=\tanh x+C$

អនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

អត្ថបទពេញលេញ៖ តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ច្រាស់អ៊ីពែបូលីក

$\int \mathrm{arcsinh}xdx=x\mathrm{arcsinh}x-\sqrt{x^2+1}+C$

$\int \mathrm{arccosh}xdx=x\mathrm{arccosh}x-\sqrt{x^2-1}+C$

$\int \mathrm{arctanh}xdx=x\mathrm{arctanh}x+\frac{1}{2}\log (1-x^2)+C$

$\int \mathrm{arccsch}xdx=x\mathrm{arccsch}x+\log \left[x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)\right]+C$

$\int \mathrm{arcsech}xdx=x\mathrm{arcsech}x-\arctan \left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)+C$

$\int \mathrm{arccoth}xdx=x\mathrm{arccoth}x+\frac{1}{2}\log (x^2-1)+C$

អាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍​ពិបាកៗ

មានអនុគមន៍ខ្លះ គេមិនអាចរកព្រីមីទីវ​របស់វាតាមរយៈការធ្វើអាំងតេក្រាលធម្មតាបានទេ ប៉ុន្តែគេអាចគណនារកតំលៃអាំងតេក្រាលកំនត់របស់វា​នៅក្នុងចន្លោះមួយ។ ឧទាហរណ៍មួយចំនួនត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម៖

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sqrt{x}{e}^{-x}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (មើលផងដែរ អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$ (អាំងតេក្រាលហ្គោស)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^2}{6}$ (មើលផងដែរ ចំនួនប៊ែរនូយី)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi }{2}$ (បើ n ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបគូ​ហើយ $n\ge 2$)

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^{n}xdx=\frac{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}$ (បើ$n$ ជាចំនួនគត់រ៉ឺឡាទីបសេស​ហើយ $n\ge 3$)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}dx=\frac{\pi }{2}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{z-1}{e}^{-x}dx=\mathrm{\Gamma }(z)$ (ដែល $\mathrm{\Gamma }(z)$ ជា អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា)

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a{x}^2+bx+c)}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}\exp \left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]$ (ដែល $\exp [u]$ ជា អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $e^u$, ហើយ $a>0$)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_0(x)$ (ដែល $I_0(x)$ ជា អនុគមន៍បេសសលប្រភេទទី១)

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_0\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+x^2/\nu {)}^{-(\nu +1)/2}dx=\frac{\sqrt{\nu \pi }\mathrm{\Gamma }(\nu /2)}{\mathrm{\Gamma }((\nu +1)/2))}$, $\nu >0$, ទាក់ទិននិង អនុគមន៍ដង់ស៊ីតេប្រូបាប៊ីលីតេ នៃ របាយស្ទូដិន)

method of exhaustion ផ្ដល់នូវរូបមន្តទូទៅក្នុងករណីដែលគ្មានអនុគមន៍ព្រីមីទីវ៖

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=(b-a)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{2^n-1}{\left(-1\right)}^{m+1}{2}^{-n}f(a+m\left(b-a\right)2^{-n}).$

"sophomore's dream"

$\begin{array}{cccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}& & (=1.29\dots )\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-(-1{)}^n{n}^{-n}& & (=0.783430510712\dots )\end{array}$

តំនភ្ជាប់ក្រៅ

• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas
• Paul's Online Math Notes