ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស (ឬច្បាប់កូស៊ីនុស ឬរូបមន្តកូស៊ីនុស, Law of cosines) គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុង និងកូស៊ីនុសមុំមួយនៃត្រីកោណ។

ទំនាក់ទំនងរវាងជ្រុងនិងមុំក្នុងត្រីកោណ

ទ្រឹស្តីបទ

ចំពោះ $△ABC$ ដែលមាន $a=BC,b=CA,c=AB,\alpha =\mathrm{\angle }CAB,\beta =\mathrm{\angle }ABC,\gamma =\mathrm{\angle }BCA$ នោះគេបាន

• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$
• $b^2=c^2+a^2-2ca\cos \beta$
• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ca}$

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

សំរាយបញ្ជាក់

ដោយប្រើរូបមន្តចំងាយរវាងពីរចំនុច

យើងមានត្រីកោណ ABC មានរង្វាស់ជ្រុង a, b, c និង $\theta$ ជារង្វាស់មុំឈមនៃជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ។ យើងអាចដាក់ត្រីកោណក្នុងបប្រព័ន្ធកូអរដោនេ ដែល $A(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B(a,0),$ និង $C(0,0)$ ។ តាមរូបមន្តចំងាយរវាងចំនុច A និង B យើងបាន

$\begin{array}{cc}c& =\sqrt{(b\cos \theta -a{)}^2+(b\sin \theta -0{)}^2}\\ \Rightarrow c^2& =(b\cos \theta -a{)}^2+(b\sin \theta -0{)}^2\\ & =b^2{\cos }^2\theta -2ab\cos \theta +a^2+b^2{\sin }^2\theta \\ & =a^2+b^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-2ab\cos \theta \\ & =a^2+b^2-2ab\cos \theta \end{array}$

ដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

ត្រីកោណស្រួច(មុំទាំងបីជាមុំស្រួល)ជាមួយបន្ទាត់កែង

គូសបន្ទាត់មួយកែងនឹងជ្រុងដែលមានរង្វាស់ c ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

(ករណីនៅតែពិតដដែលទោះបីជា α ឬ β ជាមុំទាល (មុំដែលមានតំលែនៅចន្លោះ 90° និង ១៨០°) ដែលករណីនេះបន្ទាត់កែងស្ថិតនៅក្រៅត្រីកោណ។)

ដោយគុណអង្គសងខាងនៃសមីការនឹង c យើងបាន

$c^2=ac\cos \beta +bc\cos \alpha (1)$

ដូចគ្នាដោយសន្មតថាមានបន្ទាត់កែងគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀត យើងបាន

$a^2=ac\cos \beta +ab\cos \gamma$

$b^2=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma$

បូកសមីការទាំងពីរចុងក្រោយខាងលើចូលគ្នា យើងបាន

$a^2+b^2=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma$

$\Rightarrow ac\cos \beta +bc\cos \alpha =a^2+b^2-2ab\cos \gamma (2)$

ដោយជំនួសតំលៃនៃ $(2)$ ទៅក្នុងសមីការ $(1)$ ខាងលើ យើងបាន

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាករ

ត្រីកោណទាល(មានមុំ១ជាមុំទាល) មានកំពស់ BH

ករណីមុំទាល៖ អឺគ្លីតបានបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរ (ត្រីកោណកែង AHB និងCHB ) ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងស្តាំ។ តាង d ជាប្រវែងអង្កត់ CH និង h ជាកពស់ BH នៃត្រីកោណ AHB យើងបាន

$c^2=(b+d{)}^2+h^2$

និងចំពោះត្រីកោណ CHB យើងបាន

$d^2+h^2=a^2$

ដោយពន្លាតកន្សោមនៃសមីការទី១ខាងលើ យើងបាន

$c^2=b^2+2bd+d^2+h^2$

ដោយជំនួសទៅក្នុងសមីការទី២ខាងលើ យើងបាន

$c^2=a^2+b^2+2bd(3)$

ដោយបំលែងទំរង់នេះទៅជាទំរងទំនើបនៃទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស គេបានកំនត់សំគាល់

$d=a\cos (\pi -\gamma )=-a\cos \gamma$

ជំនួសតំលៃ d ទៅក្នុងសមីការ $(3)$ យើងបានទ្រឹស្តីកូស៊ីនុស

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

សំរាយបញ្ជាក់ខ្លីដោយប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ចំពោះករណីមុំទាល

ករណីមុំទាល៖ អឺគ្លីដបានអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងទាំងពីរដែលបង្កើត​ដោយគូសទំលាក់បន្ទាត់មកជ្រុងដែលមានរង្វាស់ b ជាប់មុំ γ និងបានប្រើប្រាស់ទ្រឹស្តីបទទ្វេធា ដើម្បីសំរាយអោយងាយ។

សំរាយបញ្ជាក់ម្យ៉ាងទៀតចំពោះករណីមុំទាល៖ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករចំពោះត្រីកោណកែងផ្នែកខាងធ្វេង ក្នុងរូបខាងស្តាំ យើងបាន

$\begin{array}{cc}{c}^2& =(b-a\cos \gamma {)}^2+(a\sin \gamma {)}^2\\ & =b^2-2ab\cos \gamma +a^2({\cos }^2\gamma )+a^2({\sin }^2\gamma )\\ & =b^2+a^2-2ab\cos \gamma \end{array}$

(ដែលតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ ${\cos }^2\gamma +a^2{\sin }^2\gamma$ )

ដោយប្រើផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ

ដោយប្រើវិធីគណនារករង្វាស់វ៉ិចទ័រតាមរយៈផលគុណស្កាលែនៃវ៉ិចទ័រ យើងបានបំណកស្រាយទ្រឹស្តីកូស៊ីនុសបង្ហាញដូចខាងក្រោម

$c^2$	$=\Vert \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\Vert }^2$
	$=\Vert \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}-\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}{\Vert }^2$
	$=\Vert \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}{\Vert }^2-2\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\Vert \overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}{\Vert }^2$
	$={\mathrm{C}\mathrm{B}}^2-2\cdot \left|\mathrm{C}\mathrm{B}\right|\cdot \left|\mathrm{C}\mathrm{A}\right|\cos \widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}+{\mathrm{C}\mathrm{A}}^2$
	$=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះត្រីកោណសមបាទ

ពេល a = b មានន័យថាត្រីកោណ ABC ជាត្រីកោណសមបាត ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងពីរមានប្រវែងស្មើគ្នា។ នោះ $a^2+b^2=2a^2=2ab$។ គេបាន

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

$c^2=a^2+a^2-2a^2\cos \gamma$

$c^2=2a^2(1-\cos \gamma )$

$\Rightarrow 1-\cos \gamma =\frac{c^2}{2a^2}$

$\Rightarrow \cos \gamma =1-\frac{c^2}{2a^2}$

អនុវត្ត

តាង a,b,c ជា​ប្រវែង​ជ្រុង និង A,B,C ជា​មុំ​នៃ​ត្រីកោណ​ ABC តាង S ជា​ក្រឡា​ផ្ទៃ​នៃ​ត្រីកោណ ABC។ ចូរ​ស្រាយ​បញ្ជាក់​ថា

$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

$\begin{array}{cc}{a}^2& =b^2+c^2-2bc\cos A\\ & =b^2+c^2-4(\frac{1}{2})bc\sin A\cdot \frac{\cos A}{\sin A}\\ & =b^2+c^2-4S\cot A\\ \end{array}$

ដូចគ្នាដែរ

$b^2=a^2+c^2-4S\cot B$

$c^2=a^2+b^2-4S\cot C$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\\ \cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\\ \cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\end{array}$

ដូច្នេះយើងបាន

$\cot A+\cot B+\cot C=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ទ្រឹស្តីបទតង់សង់