លីមីត

និយមន័យ

អនុគមន៍ $f(x)$ មានលីមីត $L$ កាលណា $x$ ខិតជិត $c$ មានន័យថា ចំពោះគ្រប់ចំនួន $\epsilon >0$ គេមានចំនួន $\delta >0$ ដែល $0<|x-c|<\delta$ គេបាន $|f(x)-L|<\epsilon$ ។

ឬ សរសេរជាទំរង់សញ្ញា

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x(0<|x-c|<\delta \to |f(x)-L|<\epsilon )$។

គេសរសេរ :$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

ឧទាហរណ៍ ប្រើនិយមន័យបង្ហាញថា :$\underset{x\to 1}{\lim }(5x-3)=2$ ។

តាមនិយមន័យគេបាន $c=1;f(x)=5x-3$ និង $L=2$ ។

ដើម្បីបង្ហាញថា  :$\underset{x\to 1}{\lim }(5x-3)=2$ គេត្រូវបង្ហាញថា គ្រប់ចំនួន $\epsilon >0$ គេមានចំនួន $\delta >0$ ដែល $0<|x-1|<\delta$ នាំអោយ $|(5x-3)-2|<\epsilon$ ។

ទ្រឹស្តីបទលីមីត

ទ្រឹស្តីបទ១

បើ $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ និង $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=M$ ហើយ $L;M;K$ ជាចំនួនពិត។

១. $\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L\pm M$

២. $\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M$

៣. $\underset{x\to c}{\lim }Kf(x)=K\cdot L$

៤. $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$ បើ $M\ne 0$

៥. $\underset{x\to c}{\lim }[f(x){]}^n=L^{n}n$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន។

ទ្រឹស្តីបទ២

លីមីតនៃអនុគមន៍ពហុធា

បើ $p$ ជាអនុគមន៍ពហុធា និង $c$ ជាចំនួនពិតគេបាន $\underset{x\to c}{\lim }p(x)=p(c)$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : គេអោយអនុគមន៍ $p$ ដែល $p(x)=a_n{x}^n+...+a_{1}x+a_0$

អនុវត្តផលបូកលីមីត និង ផលគុណចំនួនថេរគេបាន

$\underset{x\to c}{\lim }p(x)=a_n[\underset{x\to c}{\lim }{x}^n]+...+a_1[\underset{x\to c}{\lim }x]+\underset{x\to c}{\lim }{a}_0$ ។ ដូចនេះ គេបាន $\underset{x\to c}{\lim }p(x)=a_n{c}^n+...+a_{1}c+a_0=p(c)$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៣

លីមីតនៃអនុគមន៍សនិទាន

បើ $r$ ជាអនុគមន៍សនិទាន ដែល $r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ និង $c$ ជាចំនួនពិតដែល $q(c)\ne 0$ នោះគេបាន $\underset{x\to c}{\lim }r(x)=r(c)=\frac{p(c)}{q(c)}$ ។

សំរាយបញ្ជាក់ : តាមទ្រឹស្តីបទ២ គេបាន $\underset{x\to c}{\lim }p(x)=p(c)$ និង $\underset{x\to c}{\lim }q(x)=q(c)$ ។ ដោយ $q(c)\ne 0$ គេអនុវត្តលក្ខណៈ៤នៃទ្រឹស្តីបទ១ ។

គេបាន $\underset{x\to c}{\lim }r(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{\underset{x\to c}{\lim }p(x)}{\underset{x\to c}{\lim }q(x)}=r(c)$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៤

លីមីតនៃអនុគមន៍ជាប់រ៉ាឌីកាល់ (រឺ អនុគមន៍អសនិទាន)

• បើ $c>0$ និង $n$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន រឺ បើ $c\le 0$និង $n$ ជាសំនួនសេស

• ​ គេបាន $li{m}_{x\to c}\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{c}$ ។

• បើ $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$ និង $c$ ជាចំនួនពិតគេបាន $li{m}_{x\to c}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\underset{x\to c}{\lim }f(x)}=\sqrt[n]{L}=(L{)}^{\frac{1}{n}}$ ។

$L>0$ និង $n$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមាន ឬ $L\le 0$ និង $n$ ជាចំនួនរ៉ឺឡាទីបវិជ្ជមានសេស។

ទ្រឹស្តីបទ៥

លីមីតនៃអនុគមន៍បណ្តាក់

បើ $f$ និង $g$ ជាអនុគមន៍ដែល $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L$ និង $\underset{x\to L}{\lim }f(x)=f(L)$ នោះ​ $\underset{x\to c}{\lim }f[g(x)]=f(L)$ ។

ទ្រឹស្តីបទ៦

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

បើ $c$ ជាចំនួនពិតស្ថិតក្នុងដែនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រដែលអោយ គេបាន

១. $\underset{x\to c}{\lim }sinx=sinc$

២. $\underset{x\to c}{\lim }cosx=cosc$

៣. $\underset{x\to c}{\lim }tanx=tanc$

៤. $\underset{x\to c}{\lim }cotx=cotc$ ។

ទ្រឹស្ដីបទ៧

លីមីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រសំខាន់

១. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$

២. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cosx}{x}=0$

Lim {x \to 0}