រូបមន្តអយល័រ

រូបមន្តអយល័រ ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }=\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi$

រូបមន្ត​អយល័រ​ (Euler's formula) យកឈ្មោះតាមលោក លេអុនហាដ អយល័រ (Leonhard Euler) គឺជា​រូបមន្ត​គណិតវិទ្យា​ក្នុង​ការ​គណនា​​កុំផ្លិចដែលបង្ហាញ​ទំនាក់ទំនង​យ៉ាង​ជិតស្និត​រវាង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ និង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​កុំផ្លិច។

រូបមន្តអយល័រពោលថា​ចំពោះគ្រប់​ចំនួនពិត​ $x$ គេបាន

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

ដែល

• $e$ គឺជា​គោលនៃលោការីតនេពែ (លោការីតធម្មជាតិ)
• $i$ គឺជា​ឯកតានិម្មិត (ឬហៅថា​ចំនួននិម្មិត)
• $\sin$ និង $\cos$ គឺជា​​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

រូបមន្ត​អយល័រ​នៅតែពិតបើទោះបីជា $x$ ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​ក៏ដោយ​។

ប្រវត្តិ

រូបមន្តអយល័រ​ត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់​ដំបូង​ដោយ រ៉ូចឺ កូត្ស Roger Cotes ក្នុងឆ្នាំ ១៧១៤ ជារាង

$\ln (\cos x+i\sin x)=ix$

(ដែល ln តំណាងអោយ​លោការីតនេពែ (ឬហៅម្យ៉ាងទៀតថា​លោការីតធម្មជាតិ) មានន័យថាជា​​លោការីត log ដែលមានគោល e)

លោក​អយល័រ​​ជាអ្នកបោះពុម្ព​រូបមន្ត​ជា​រាង​បច្ចប្បន្ន​នេះ​នៅ​ឆ្នាំ​១៧៤៨ ដែលជាមូលដ្ឋានគ្រឹះ​សំរាប់សំរាយបញ្ជាក់​របស់​គាត់​ចំពោះ​ស៊េរីអនន្ត​ពីរ​ស្មើគ្នា។ អ្នកទាំងពីរ​មិន​បាន​បង្ហាញ​តំណាងធរណីមាត្រ​នៃ​រូបមន្តទេៈ តំណាង​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​ជា​ចំនុច​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច​បានលេចឡើង​នៅ​៥០ឆ្នាំ​ក្រោយ​មក។​ លោក អយល័រ​បាន​ចាត់ទុក​វា​ជាធម្មតា​ដើម្បី​ណែនាំ​ទៅ​កាន់​សិស្ស​របស់​គាត់​អំពី​ចំនួនកុំផ្លិច​​មាន​ភាពស្រួល​ច្រើនជាង​អ្វី​ដែល​ពួកយើង​ធ្វើ​សព្វថ្ងៃ។ នៅក្នុង​សៀវភៅពិជគណិតថ្នាក់ដំបូងរបស់គាត់ (elementary algebra text book) គាត់​បាន​ណែនាំ​អំពី​ចំនួន​ទាំងនេះ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ម្តង និង​បាន​ប្រើប្រាស់​​ពួកវា​តាម​រយៈ​វិធីសាស្រ្ត​ធម្មតា។

ការអនុវត្តក្នុងទ្រឹស្តីចំនួនកុំផ្លិច

$e^{ix}$ គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

រូបមន្ត​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​បកស្រាយ​ដោយ​និយាយថា អនុគមន៍ $e^{ix}$ គូសជា​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រក្នុងប្លង់កុំផ្លិចជា $x$ រ៉ាដ្យង់​តាមរយះចំនួនពិត ។ ទីនេះ $x$ គឺជា​មុំ​ដែល​បន្ទាត់​មួយ​ភ្ជាប់​គល់​តំរុយ​ជា​មួយ​ចំនុច​មួយ​នៅ​លើ​រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ​បង្កើត​ជាមួយ​អ័ក្សពិត​ផ្នែក​វិជ្ជមាន​តាម​ទិសដៅ​ដូច​ទ្រនិចនាឡិកា​និង​គិតជា​រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់​ដើម​គឺ​ពឹងផ្អែក​ទៅ​លើ​ការពន្លាត​ជា​​ស៊េរីតេល័រ​នៃ​អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល $e^z$ (ដែល $z$ ជា​ចំនួនកុំផ្លិច​) និង​ការពន្លាតជា​ស៊េរីតេល័រ​​នៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុស $\sin x$ និង កូស៊ីនុស $\cos$ ចំពោះ​ចំនួនពិត $x$ ។ តាម​ពិត​សំរាយបញ្ជាក់​ដូចគ្នា​បង្ហាញ​ថា​​រូបមន្តអយល័រ​ពិតផងដែរ​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច $z$ ។

ចំនុច​មួយ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិចអាច​​ត្រូវ​បាន​​បង្ហាញ​​ជា​​ចំនួនកុំផ្លិច​ដៅ​ក្នុង​ប្រព័ន្ធកូអរដោនេដេកាត​។ រូបមន្តអយល័រផ្តល់នូវតំលៃមធ្យមនៃគំលាតរវាងកូអរដោនេដេកាត និង កូអរដោនេប៉ូលែរ។ ទំរង់ប៉ូលែរបន្ថយចំនួណតួពីពីរទៅមួយ ដែលសំរួលក្នុងគណិតវិទ្យា​នៅពេលដែល​វា​ត្រូវបាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ក្នុង​ប្រមាណវិធីគុណ​ឬ​ស្វ័យគុណ​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​។ ចំនួនកុំផ្លិច $z=x+iy$ អាចសរសេរជា

$z=x+iy=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )=|z|e^{i\theta }=r{e}^{i\theta }$

$\overline{z}=x-iy=|z|(\cos \theta -i\sin \theta )=|z|e^{-i\theta }=r{e}^{-i\theta }$

ដែល

$x=\mathrm{R}\mathrm{e}\{z\}$ គឺជា​ផ្នែកពិត

$y=\mathrm{I}\mathrm{m}\{z\}$ គឺជា​ផ្នែកនិម្មិត

$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$ គឺជាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច

$\overline{z}$ ជា​ចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់​នៃ​ $z$

$\theta =\arctan (\frac{y}{x})$ គឺជា​អាគុយម៉ង់​នៃចំនួនកុំផ្លិច

$\theta$ គឺជាអាគុយម៉ងនៃចំនួនកុំផ្លិច មានន័យថាគឺជាមុំរវាងអ័ក្សពិត $x$ និង វ៉ិចទ័រ $z$ វាស់ក្នុងទិសដៅស្របនឹង​ទ្រនិច​នាឡិកា​និង​​គិត​ជា​រ៉ាដ្យង់​។

យើង​អាច​ប្រើ​រូបមន្តអយល័រ​ដើម្បី​កំនត់​លោការីត​នៃ​ចំនួនកុំផ្លិច​មួយ​។ យើង​ក៏​អាច​ប្រើ​និយមន័យ​នៃ​លោការីត​​ (ជាឆ្លាស់នៃ​អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល)​ ដែល

$a=e^{\ln (a)}$

និង

$e^a{e}^b=e^{a+b}$

ទំនាក់ទំនងទាំងពីរពិតចំពោះគ្រប់​ចំនួនកុំផ្លិច a និង b ។ ហេតុនេះយើងអាចសរសេរ

$z=|z|e^{i\theta }=e^{\ln |z|}{e}^{i\theta }=e^{\ln |z|+i\theta }$

ចំពោះ $z\ne 0$ ។ បំលាក់​លោការីត​លើអង្គទាំងសងខាង យើងបាន

$\ln z=\ln |z|+i\theta$

តាមពិតទំនាក់ទំនងនេះអាចត្រូវបានគេប្រើដើម្បីកំនត់និយមន័យសំរាប់​កុំផ្លិចលោការីត​។ លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លចមួយគឺជា​អនុគមន៍មានពហុតំលៃ ពីព្រោះ $\theta$ មានពហុតំលៃ (មានតំលៃច្រើន) ។

ចុងក្រោយ រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

$(e^a{)}^k=e^{ak}$

ផ្ទៀងផ្ទាត់​ចំពោះ​គ្រប់​ចំនួនគត់​ $k$ រួមជាមួយ​រូបមន្តអយល័រ​ ដែលជាប់ទាក់ទងផងដែរនូវរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និង រូបមន្តដឺម័រ​។

ទំនាក់ទំនងចំពោះត្រីកោណមាត្រ

$\cos x=\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{ix}\}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\sin x=\mathrm{I}\mathrm{m}\{e^{ix}\}=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

សមីការ​ទាំងពីរ​ខាងលើ​អាច​ទាញបាន​ដោយ​ការបូក​ឬ​ដករូបមន្ត​អយល័រ៖

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x$

រូបមន្ត​ទាំងនេះ​ផ្តល់​និយមន័យ​អោយ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ​ចំពោះអាគុយម៉ង់ $x$ នៃចំនួនកុំផ្លិច ។

ឧទាហរណ៍៖ តាង $x=iy$ គេបាន

$\cos (iy)=\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh (y)$

$\sin (iy)=\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=-i\sinh (y)$

អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិចអាចសំរួលជាត្រីកោណមាត្រ ពីព្រោះវាងាយស្រួលសំរួលជាងស៊ីនុយសូអ៊ីត។​ គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីតជាកន្សោមអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ ឧទាហរណ៍៖

$\begin{array}{cc}\cos x\cdot \cos y& =\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\cdot \frac{(e^{iy}+e^{-iy})}{2}\\ & =\frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}\\ & =\frac{e^{i(x+y)}+e^{i(-x-y)}}{4}+\frac{e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}}{4}\\ & =\frac{\cos (x+y)}{2}+\frac{\cos (x-y)}{2}\end{array}$

គេអាចបំលែងស៊ីនុយសូអ៊ីត​ជា​​ផ្នែកពិត​​នៃកន្សោម​ចំនួនកុំផ្លិច​ និង សរសេរជាកន្សោមនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ឧទាហរណ៍៖

$\begin{array}{cc}\cos (nx)+\cos ((n-2)x)& =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{inx}+e^{i(n-2)x}\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix})\}\\ & =\mathrm{R}\mathrm{e}\{e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x\}\\ & =2\cos ((n-1)x)\cos x\end{array}$

រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​បង្កើត​របត់​ស៊ីនុយសូអ៊ីត​នៅចន្លោះ x រ៉ាដ្យង់​។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយប្រើ​ស៊េរីតេល័រ

ការពន្លាត​ជា​ស៊េរី​នៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល​ដែលមានអថេរជាចំនួនពិត x អាចសរសេរ

$e^x=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

និងអាចបន្លាយដល់​ចំនួនកុំផ្លិច x ។

ពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះអនុគមន៍ស៊ីនុស និង កូស៊ីនុសគឺ

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}$

ដើម្បីសំរួលសមីការនេះ យើងប្រើលក្ខណៈគ្រឹះខាងក្រោម

$i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,\dots$

ជាទូទៅចំពោះគ្រប់អិចស្ប៉ូសង់ជាចំនួនគត់ n គេបាន

$i^{4n}=1,i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i$

ចំពោះចំនួនកុំផ្លិច z យើងកំនត់អនុគមន៍និមួយៗទាំងនេះដោយស៊េរីខាងលើ ជំនួសអថេរពិត x ដោយអថេរកុំផ្លិច z ។ យើងបាន

$\begin{array}{cc}{e}^{iz}& =1+iz+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\frac{(iz{)}^5}{5!}+\frac{(iz{)}^6}{6!}+\frac{(iz{)}^7}{7!}+\frac{(iz{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+iz-\frac{z^2}{2!}-\frac{i{z}^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{i{z}^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-\frac{i{z}^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots )+i(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos z+i\sin z\end{array}$

ដូចនេះគេបានរូបមន្តអយល័រ ដូចដែលបានពោល៖

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​ដេរីវេ

គេមានអនុគមន៍ $f$ (អាចជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិច) នៃអថេរ x កំនត់ដោយ

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$

ដោយយោងតាមរូបមន្តផលគុណ និង ផលចែកនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(x)$ គេបានដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(x)$ កំនត់ដោយ

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix}{)}^2}\\ & =\frac{-\sin x\cdot e^{ix}-i^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix}{)}^2}\\ & =\frac{-\sin x-i^2\sin x}{e^{ix}}\\ & =\frac{-\sin x-(-1)\sin x}{e^{ix}}\\ & =\frac{-\sin x+\sin x}{e^{ix}}\\ & =0\end{array}$

ហេតុនេះ $f$ ជា​អនុគមន៍ថេរ​។ គេបាន

$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0+i\sin 0}{e^0}=1$

$\Rightarrow \frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}=1$

ដូចនេះ

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​បែប​ងាយ

តាងអនុគមន៍ ​ $f(x)=\cos x+i\sin x$

យើង​បាន

$f^{\prime }(x)=-\sin x+i\cos x=i\cdot (i\sin x+\cos x)$

$f^{\prime }(x)=i\cdot f(x)$

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=i$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\int i\cdot dx$

$\ln (f(x))=ix+c$

$f(x)=e^{ix+c}$

នោះ $e^{ix+c}=\cos x+i\sin x$

រក​តម្លៃ $c$ ដោយ​យក $x=0$

នាំឲ្យ $e^c=\cos 0+i\sin 0=1$

$\Rightarrow c=0$

ដូចនេះ

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ។

សំរាយបញ្ជាក់​ដោយ​ប្រើ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល​​បែប​ម្យ៉ាង​ទៀត

គេមានអនុគមន៍ $g(x)$ ដែល

$g(x)=e^{ix}$

ដោយចាត់ទុក $i$ គឺជា​ចំនួនថេរ ដេរីវេទី១ និង ទី២ នៃ $g(x)$ គឺ

$g^{\prime }(x)=i{e}^{ix}$

$g^{″}(x)=i^2{e}^{ix}=-e^{ix}$ (ពីព្រោះ $i^2=-1$)

ចេញ​ពី​ទំនាក់ទំនង​នេះ​គេ​អាច​បង្កើត​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរ​លំដាប់២

$g^{″}(x)=-g(x)$

ឬ

$g^{″}(x)+g(x)=0$

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់២ មានចំលើយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ​ចំនួន​ពីរ​ដែល​ផ្ទៀងផ្ទាត់​វា៖

$g_1(x)=\cos x$

$g_2(x)=\sin x$

ទាំង $\cos$ និង $\sin$ គឺជាអនុគមន៍ពិត​ដែលដេរីវេ​ទី២​គឺ​មាន​សញ្ញាអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ខ្លួនវា។ បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​នៃចំលើយ​ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអូម៉ូសែន​ក៏ជាចំលើយមួយផងដែរ។​ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

$\begin{array}{cc}g(x)& =A{g}_1(x)+B{g}_2(x)\\ & =A\cos x+B\sin x\end{array}$

ដែល A និង B គឺជាចំនួនថេរ​។ ប៉ុន្តែ​មិនមែន​គ្រប់​តំលៃ​ទាំងអស់​នៃ​ចំនួនថេរ​ទាំងពីរ​នេះ​សុទ្ធ​តែ​ផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌដើមដែលគេស្គាល់ចំពោះ $g(x)$ ទេ​៖

$g(0)=e^{i0}=1$

$g^{\prime }(0)=i{e}^{i0}=i$

តំលៃនៃលក្ខខណ្ឌដើមជំនួសក្នុងចំលើយទូទៅ

$g(0)=A\cos 0+B\sin 0=A$

$g^{\prime }(0)=-A\sin 0+B\cos 0=B$

គេបាន

$g(0)=A=1$

$g^{\prime }(0)=B=i$

និង​ចុងក្រោយ

$g(x)=e^{ix}=\cos x+i\sin x$

គឺជា​រូបមន្តអយល័រ​។