ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ក្រាបនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកលើដែនកំនត់ R

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និយមន័យ

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ sinh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

$\begin{array}{cccc}\sinh :& ℂ& ⟶& ℂ\\ & z& ⟼& \frac{e^z-e^{-z}}{2}\end{array}$

ដែល $e$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

$\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់)
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh) គឺជា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh)

$\frac{d}{dx}(\sinh x)=(\sinh x{)}^{\prime }=(\cosh x)$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ cosh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

$\int \sinh xdx=\cosh x+C$

• អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍សេស​និងកើនដាច់ខាតលើ $ℝ$។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​​អនុគមន៍ស៊ីនុស​​និង​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

$e^z=\cosh z+\sinh z$

$e^{-z}=\cosh z-\sinh z$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ $(\cos t,\sin t)$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ $(\cos t,\sin t)$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ $t>0$

${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ $x\in ℝ$

$\sinh (ix)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i\sin x$

$\sinh x=-i\sin (ix)$

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

${\sinh }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\cosh x-1}{2}$

ស៊េរីតេល័រ

sinh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

$\sinh z=z+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ sinh

• $\sinh (0)=0$
• $\sinh (1)=\frac{e^2-1}{2e}$
• $\sinh (i)=i\sin (1)$

អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាបនៃអនុគមន៍ $\mathrm{arcsinh}$

អនុគមន៍ច្រាសនៃsinh គឺជា​អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស​តាងដោយ $\mathrm{arsinh}$ ឬ arcsinh ។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយកាត់ជាបំនែកអង្កត់ $]-\mathrm{\infty }i;-i[$ និង $]i;+\mathrm{\infty }i[$ ។

$\mathrm{arcsinh}(z)=\ln (z+\sqrt{1+z^2})$

ចំពោះ $x\in ℝ$sinh មានដែនកំនត់លើ $ℝ$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖

$arcsinh(x)=ln(x+\sqrt{x^2+1})$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក