ចំនួនកុំផ្លិច

ចំនួនកុំផ្លិច៖ គឺជាចំនួនដែលមានទម្រង់ $a+bi$ ដែល $a$ និង $b$ជាចំនួនពិត និង $i$ជាឯកតានិមិ្មត ($i=\sqrt{-1},i^2=-1$)។

និយមន័យ

• ឯកតានិមិ្មត $i=\sqrt{-1},i^2=-1$

$Z=a+bi.$

a ជាផ្នែកពិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Real Part)

b ជាផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច Z (Imaginary part)

ប្រមាណវិធី

$i=\sqrt{-1},i^2=-1$៖

• ផលបូក: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• ផលដក: $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
• ផលគុណ: $(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bd{i}^2=(ac-bd)+(bc+ad)i$
• ផលចែក: $\frac{(a+bi)}{(c+di)}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i$

ប្លង់កុំផ្លិច

លក្ខណៈធរណីមាត្រនៃ$z$ និងចំលាស់របស់វា$\overline{z}$ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

តំលៃដាច់ខាតនៃចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់

$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$

$\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$

$\overline{(z/w)}=\overline{z}/\overline{w}$

$\overline{\overline{z}}=z$

$\overline{z}=z$   ប្រសិនបើ z ជាចំនួនពិតសុទ្ធ

$\overline{z}=-z$   ប្រសិនបើ z ជាចំនួននិម្មិតសុទ្ធ

$|z|=|\overline{z}|$

$|z{|}^2=z\cdot \overline{z}$

$z^{-1}=\overline{z}\cdot |z{|}^{-2}$   ប្រសិនបើ z ខុសពីសូន្យ

ប្រភាគនៃចំនួនកុំផ្លិច

$\begin{array}{cc}\frac{a+bi}{c+di}& =\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\\ & =\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+i\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right).\end{array}$

ទម្រង់ប៉ូលែរ

កូអរដោនេប៉ូលែក្នុងតម្រុយដេកាត

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

ផ្ទុយមកវិញ

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\phi =\arg (z)=arctan\frac{y}{x}$

$x+iy=r{e}^{i\phi }$

ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និង ​ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច

$a+bi=r(cos\alpha +isin\alpha )$, ដែល $r$ ជាម៉ូឌុលនៃ​ $a+bi$ ។
$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

$cos\alpha =\frac{a}{r};sin\alpha =\frac{b}{r}$

ទ្រឹស្តីបទ៖

បើគេមានទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកំផ្លិច

$z_1$

និង

$z_2$

ដែល

$z_1=r_1(cos{\alpha }_1+isin{\alpha }_1)$

និង

$z_2=r_2(cos{\alpha }_2+isin{\alpha }_2)$

គេបាន​

ក)​ $z_1{z}_2=r_1{r}_2[cos({\alpha }_1+{\alpha }_2)+isin({\alpha }_1+{\alpha }_2)]$

ខ) $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos({\alpha }_1-{\alpha }_2)+isin({\alpha }_1-{\alpha }_2)]$

ទ្រឹស្តីបទ៖

បើ

$z$

ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

$|z{|}^2=z\cdot \overline{z}$

។

លក្ខណៈ

គេឲ្យ

$w$

និង

$z$

ជាចំនួនកុំផ្លិចគេបាន

ក)​ $|wz|=|w|\cdot |z|$
ខ) $|\frac{w}{z}|=\frac{|w|}{|z|};z\ne 0$
គ) $|w+z|\le |w|+|z|$

ស្វ័យគុណទី​ $n$​ នៃចំនួនកុំផ្លិច

គេមាន $Z=r(cos\alpha +isin\alpha )$ ។

តាមរូបមន្ត $Z_1{Z}_2=r_1{r}_2[cos({\alpha }_1+{\alpha }_2)+isin({\alpha }_1+{\alpha }_2)]$

គេបាន $ZZ=rr[cos(\alpha +\alpha )+isin(\alpha +\alpha )]$

$Z^2=r^2(cos2\alpha +isin2\alpha )$

$Z^3=Z^2\cdot Z=(r^2\cdot r)[cos(2\alpha +\alpha )+isin(2\alpha +\alpha )]=r^3(cos3\alpha +isin3\alpha )$

........................................................................................

$Z^n=Z^{n-1}\cdot Z=r^n(cosn\alpha +isinn\alpha )$

ជាទូទៅ៖​

$Z^n=[r(cos\alpha +isin\alpha ){]}^n=r^n(cosn\alpha +isinn\alpha )$

គ្រប់

$n\in \mathbb{Z}$

គេទាញបាន

$(cos\alpha +isin\alpha {)}^n=(cosn\alpha +isinn\alpha )$

ហៅថា ទ្រឹស្តីបទដឺម័រ។

ឧទាហរណ៍​: គណនា​ $(1+i{)}^{50}$

តាង $z=1+i$ គេបាន $z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{4}+isin\frac{\pi }{4})$
តាមទ្រឹស្តីបទដឺម័រ

$(i+i{)}^{50}={\sqrt{2}}^{50}[cos(50\cdot \frac{\pi }{4})+isin(50\cdot \frac{\pi }{4})]=2^{25}(cos\frac{25\pi }{2}+isin\frac{25\pi }{2})=2^{25}[cos(12\pi +\frac{\pi }{2})+isin(12\pi +\frac{\pi }{2})]=2^{25}(cos\frac{\pi }{2}+isin\frac{\pi }{2})$

ដូចនេះ $(1+i{)}^{50}=2^{25}i=33554432i$

ឫសទី $n$ នៃចំនួនកុំផ្លិច

បើចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ Z​ មានឫសទី n គឺ W គេបាន $W^n=Z$​។ ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច Z និង W គឺ $Z=r(cos\theta +isin\theta )$ និង $W=s(cos\alpha +isin\alpha )$

គេបាន $W^n=s^n(cosn\alpha +isinn\alpha )$

ដោយ $W^n=Z$ គេបាន $s^n(cosn\alpha +isinn\alpha )=r(cos\theta +isin\theta )$

ចំនួនកុំផ្លិចពីរស្មើគ្នា ម៉ូឌុលរបស់វាក៏ស្មើគ្នាដែរ។

ដូចនេះ $s^n=r$ ។ ដោយ $s>0$ និង $r>0$ នាំឲ្យ $s=\sqrt[n]{r}$ ។

$cosn\alpha +isinn\alpha =cos\theta +isin\theta$

គេបាន $cosn\alpha =cos\theta$ នាំឲ្យ $n\alpha =\theta +2k\pi ;\alpha =\frac{\theta +2k\pi }{n};k\in \mathbb{Z}$។

ជំនួស $\alpha =\frac{\theta +2k\pi }{n}$ និង $s=\sqrt[n]{r}$ ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច $W$ គេបាន $w=\sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta +2k\pi }{n})+isin(\frac{\theta +2k\pi }{n})]$ ។

បើ​គេជំនួស $k=0;1;2;...;n-1$ គេបាន n ឫសទី n​ ផ្សេងៗគ្នានៃ Z​ ។

ទ្រឹស្តីបទ៖

បើ $Z=r(cos\theta +isin\theta )$ ជាចំនួនកុំផ្លិចមិនសូន្យ​ ហើយ​ n ជាចំនួនគត់វិជ្ជមាននោះ Z មានឫសទី n គឺ​ :

$w_k=\sqrt[n]{r}[cos(\frac{\theta +2k\pi }{n})+isin(\frac{\theta +2k\pi }{n})]$ បើ k=0;1;2;...;n-1 នោះ Z មានឫសទី n គឺ $w_0;w_1;w_2;...;w_{n-1}$​ ។

ឧទាហរណ៍ :​ គណនាឫសទី 6 នៃ -1

តាង Z = -1 + 0i គេបាន $r=\sqrt{1}=1$ ។

$cos\theta =\frac{a}{r}=-1$ និង $sin\theta =\frac{b}{r}=0$ នាំអោយ $\theta =\pi$។

$Z=-1+0i=(cos\pi +isin\pi )$

n = 6 យើងគណនាឫសទី 6 នៃ​ Z = -1 + 0i ។

$w_k=cos(\frac{\pi +2k\pi }{6})+isin(\frac{\pi +2k\pi }{6})$

$w_k=cos(\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3})+isin(\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3})$ បើ k=0;1;2;3;4;5 គេបាន

k=0​ នាំឲ្យ $w_0=cos\frac{\pi }{6}+isin\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

k=1 នាំឲ្យ $w_1=cos\frac{\pi }{2}+isin\frac{\pi }{2}=i$

k=2 នាំឲ្យ $w_2=cos\frac{5\pi }{6}+isin\frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$

k=3 នាំឲ្យ $w_3=cos\frac{7\pi }{6}+isin\frac{7\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$

k=4 នាំឲ្យ $w_4=cos\frac{3\pi }{2}+isin\frac{3\pi }{2}=-i$

k=5 នាំឲ្យ $w_5=cos\frac{11\pi }{6}+isin\frac{11\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$

សូមមើលផងដែរ

• ផ្នែកនិម្មិត
• ផ្នែកពិត
• កុំផ្លិចឆ្លាស់
• ឯកតានិម្មិត