ប៉ារ៉ាបូល

ប៉ារ៉ាបូល

អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិក្រិចបានរកឃើញជំពូកកោនិចនៅចន្លោះ៣០០ឆ្នាំ និង ៦០០ឆ្នាំមុនគ.ស ហើយក៏បានរកឃើញមុនគេបង្អស់ពីលក្ខណៈធរណីមាត្ររបស់កោនិច។​ នៅដើមសតវត្សទី១៧ ការអនុវត្តកោនិចបានចាប់ផ្តើមឡើងលើសកលលោក ហើយមានតួនាទីសំខាន់ក្នុងការអភិវឌ្ឍផ្នែកគណនា។ ផ្នែកមូលដ្ឋានគ្រឹះរបស់កោនិចគឺរង្វង់ ប៉ារ៉ាបូល អេលីប និង អ៊ីពែរបូល។

និយមន័យ

ប៉ារ៉ាបូលគឺជាសំនុំចំនុច $M(x,y)$ ក្នុងប្លង់ដែលនៅស្មើចំងាយពីចំនុចនឹងមួយ និង​ពីរបន្ទាត់នឹងមួយ។

• ​ ចំនុចនឹងមួយនោះហៅថាកំណុំនៃប៉ារ៉ាបូល។
• បន្ទាត់នឹងនោះហៅថាបន្ទាត់ប្រាប់ទិសនៃប៉ារ៉ាបូល។

ចំនុចកណ្តាលរវាងកំនុំ និងចំនុចប្រសព្វរវាងបន្ទាត់ប្រាប់ទិស និង អ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូល ហៅថាកំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល។​ បន្ទាត់ដែលកាត់តាមកំណុំ និង កំពូលហៅថា អ័ក្ស​​នៃប៉ារ៉ាបូល ឬ អ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូល។

តាមនិយមន័យប៉ារ៉ាបូល យើងអាចទាញទ្រឹស្តីបទសមីការស្តង់ដានៃប៉ារ៉ាបូលដែលមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស $(x^{\prime }0x)$ ឬ អ័ក្ស $(y^{\prime }0y)$​ ក្នុងតំរុយអរតូណរមេ។

ទ្រឹស្តីបទ

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h;k)$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $y=k-p$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ ។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សឈរ។

ប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល $(h;k)$ និងមានបន្ទាត់ប្រាប់ទិស $x=h-p$ មានសមីការទំរង់ស្តង់ដា $(y-k{)}^2=4p(x-h)$។ អ័ក្សឆ្លុះជាអ័ក្សដេក។

កំណុំស្ថិតនៅលើអ័ក្សឆ្លុះមានចំងាយ P ឯកតាពីកំពូល។ p ហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត។

សម្រាយបញ្ជាក់

យើងស្រាយបញ្ជាក់តែករណីបន្ទាត់ប្រាប់ទិសស្របនឹងអ័ក្ស$(x^{\prime }0x)$ ហើយកំណុំស្ថិតនៅលើកំពូលមានន័យថា $p>0$ ។

បើ​ $(x;y)$ ជាចំនុចនៅលើប៉ារ៉ាបូល​ នោះ ចំនុច $(x;y)$ ស្មើចំងាយពីកំនុំ $(h;k+p)$ និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស $y=k-p$​ ។

តាមរូបមន្ត ចំងាយរវាងពីរចំនុច​ និង ចម្ងាយរវាងចំណុច និង បន្ទាត់។

គេបាន

$\sqrt{(x-h{)}^2+[y-(k+p){]}^2}=|y-(k-p)|$
$(x-h{)}^2+[y-(k+p){]}^2=[y-(k-p){]}^2$
$(x-h{)}^2+y^2-2y(k+p)+(k+p{)}^2=y^2-2y(k-p)+(k-p{)}^2$
$(x-h{)}^2-2yk-2py+k^2-2pk+p^2=-2yk+2py+k^2+2pk+p^2$
$(x-h{)}^2-2py+2pk=2py-2pk$

$(x-h{)}^2=4py-4pk$ ។ ដូច្នេះ $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ ។

ការរកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល

ឧទាហរណ៍១ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (2;1) និង​ កំនុំ(2;4) ។

• ចំលើយ ដោយអាប់ស៊ីសកំពូល និង​ កំនុំស្មើគ្នា អរដោនេខុសគ្នា ហើយអ័ក្សឆ្លុះកាត់តាមកំពូល និង កំនុំ នោះអ័ក្សឆ្លុះនៃប៉ារ៉ាបូលជាអ័ក្សឈរ។

គេបានសមីការ $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ ។ ដែល $h=2;k=1;p=4-1=3$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ $(x-2{)}^2=12(y-1)$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូលដែលមានកំពូល (-2;1) និង បន្ទាត់ប្រាប់ទិស$x=1$ ។

• ចំលើយ ដោយ $x=1$ នោះបន្ទាត់ប្រាប់ទិសជាបន្ទាត់ឈរ។ គេបានសមីការ $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ (1)

ដែល $h=-2;k=1$

ដោយ $x=h-p$ នាំអោយ $p=h-x=-2-1=-3$ ។ ជំនួស $h=-2;k=1$ និង $p=-3$

ក្នុងសមីការ (1) គេបាន $(y-1{)}^2=-12(x+2)$ ។

ដូចនេះ ទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូលគឺ $(y-1{)}^2=-12(x+2)$ ។

ទំរង់ទូទៅរបស់សមីការប៉ារ៉ាបូល

ជាទូទៅ

សមីការទូទៅរបស់ប៉ារ៉ាបូលមានរាង $A{x}^2+Cx+Dy+E=0$ រឺ $B{y}^2+Cx+Dy+E=0$ ។

ឧទាហរណ៍១ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល $y^2+8y-8x=0$ ជាទំរង់ស្តង់ដា។

គេមាន $y^2+8y-8x=0$

$y^2+8y=8x$

$y^2+8y+16=8x+16$ ។

ដូចនេះ $(y+4{)}^2=8(x+2)$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ឧទាហរណ៍២ បំប្លែងសមីការទូទៅនៃប៉ារ៉ាបូល $x^2-2x+8y+9=0$ ជាទំរង់ស្តង់ដា ។

គេមាន $x^2-2x+8y+9=0$

$x^2-2x=-8y-9$

$x^2-2x+1=-8y-9+1$ ។

ដូចនេះ $(x-1{)}^2=-8(y+1)$ ជាទំរង់ស្តង់ដានៃសមីការប៉ារ៉ាបូល ។

ការរកកំនុំ និង កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល

ឧទាហរណ៍១ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ $y=-\frac{1}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$ ។

• ចំលើយ

គុណអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង 2 គេបាន

$2y=-x^2-2x+1$
$2y=1-(x^2+2x)$
$2y=1-(x^2+2x+1-1)$
$2y=1-[(x+1{)}^2-1]$
$2y=2-(x+1{)}^2$
$(x+1{)}^2=2-2y$
$(x+1{)}^2=-2(y-1)$ ។

ប្រៀបធៀបសមីការ $(x+1{)}^2=-2(y-1)$ និងសមីការ $(x-h{)}^2=4p(y-k)$ គេបាន $h=-1;k=1$ ។
ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k)=(-1;1)$​ ។

ដោយ $4p=-2$ នាំអោយ $p=-\frac{1}{2}$ ។

$p=-\frac{1}{2};h=-1;k=1$ នាំអោយកំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h;k+p)=(-1;1-\frac{1}{2})=(-1;\frac{1}{2})$ ។

ឧទាហរណ៍២ រកកំពូល និង កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល​ $y^2+y-2x+\frac{41}{4}=0$ ។

• ចំលើយ

គេមាន $y^2+y-2x+\frac{41}{4}=0$
$y^2+y=2x-\frac{41}{4}$
$y^2+y+\frac{1}{4}=2x-\frac{41}{4}+\frac{1}{4}$
${(y+\frac{1}{2})}^2=2x-\frac{40}{4}=2x-10$
${(y+\frac{1}{2})}^2=2(x-5)$

ប្រៀបធៀបសមីការ ${(y+\frac{1}{2})}^2=2(x-5)$ និងទំរង់ស្តង់ដាសមីការប៉ារ៉ាបូល $(y-k{)}^2=4p(x-h)$ ។

គេបាន $k=-\frac{1}{2};h=5$ ។

ដូចនេះ កំពូលរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h,k)=(5-\frac{1}{2})$ ។

ដោយ $4p=2$ នាំអោយ $p=\frac{1}{2}$ ។​ ដូចនេះ កំនុំរបស់ប៉ារ៉ាបូល $(h+p,k)=(\frac{11}{2},-\frac{1}{2})$ ។