អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹង​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា។ អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគ្រឹះសំខាន់ៗរួមមាន​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ sinh ) កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ cosh ) និង តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (តាងដោយ tanh )។

និយមន័យ

sinh, cosh និង tanh

csch, sech និងcoth

• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=-i\sin ix$

• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cos ix$

• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-i\tan ix$

• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក

$\coth x=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=i\cot ix$

• សេកង់អ៊ីពែបូលីក

$\mathrm{sech}x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^x+e^{-x}}=\sec ix$

• កូសេកង់អ៊ីពែបូលីក

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^x-e^{-x}}=i\csc ix$

ដែល $i$ ជាឯកតានិមិត្មនៃចំនួនកុំផ្លិច ( $i^2=-1$) ។ ទំរង់នៃចំនួនកុំផ្លិចខាងលើទាញចេញពីរូបមន្តអឺលែរ។

• សំគាល់៖ ក្នុងការបំលែងនៅក្នុងកន្សោមផ្សេងៗ ${\sinh }^{2}x$ សំដៅលើ $(\sinh x{)}^2$ មិនមែន $\sinh (\sinh x)$ ទេ។

អនុគមន៍ច្រាសនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍លោការីត

• ${\sinh }^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

• ${\cosh }^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1});x\ge 1$

• ${\tanh }^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right);\left|x\right|<1$

• ${\mathrm{sech}}^{-1}x=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right);0<x\le 1$

• ${\mathrm{csch}}^{-1}x=\ln (\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{\left|x\right|})$

• ${\coth }^{-1}x=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right);\left|x\right|>1$

ទំនាក់ទំនងសំខាន់ៗ

• $\sinh (-x)=-\sinh x$
• $\cosh (-x)=\cosh x$
• $\tanh (-x)=-\tanh x$
• $\coth (-x)=-\coth x$
• $\mathrm{sech}(-x)=\mathrm{sech}x$
• $\mathrm{csch}(-x)=-\mathrm{csch}x$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

$\frac{d}{dx}\sinh (x)=\cosh (x)$

$\frac{d}{dx}\cosh (x)=\sinh (x)$

$\frac{d}{dx}\tanh (x)=1-{\tanh }^2(x)={\text{sech}}^2(x)=\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$

$\frac{d}{dx}\coth (x)=1-{\coth }^2(x)=-{\text{csch}}^2(x)=\frac{-1}{{\sinh }^2(x)}$

$\frac{d}{dx}\text{csch(x)}=-\coth (x)\text{csch(x)}$

$\frac{d}{dx}\text{sech(x)}=-\tanh (x)\text{sech(x)}$

$\frac{d}{dx}\left({\sinh }^{-1}u\right)=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left({\cosh }^{-1}u\right)=\frac{1}{\sqrt{u^2-1}}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left({\tanh }^{-1}u\right)=\frac{1}{1-u^2}\cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{csch}}^{-1}u\right)=\frac{1}{\left|u\right|\sqrt{1+u^2}}\cdot -\frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left({\mathrm{sech}}^{-1}u\right)=\frac{1}{u\sqrt{1-u^2}}\cdot -\frac{du}{dx}$

$\frac{d}{dx}\left({\coth }^{-1}u\right)=\frac{1}{1-u^2}\cdot \frac{du}{dx}$

អាំងតេក្រាលស្តង់ដារនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក

សំរាប់តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក។

$\int \sinh axdx=\frac{1}{a}\cosh ax+C$

$\int \cosh axdx=\frac{1}{a}\sinh ax+C$

$\int \tanh axdx=\frac{1}{a}\ln |\cosh ax|+C$

$\int \coth axdx=\frac{1}{a}\ln |\sinh ax|+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{a^2+u^2}}={\sinh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{\sqrt{u^2-a^2}}={\cosh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{a}{\tanh }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2<a^2$

$\int \frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{a}{\coth }^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+C;u^2>a^2$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2-u^2}}=-\frac{1}{a}{\mathrm{sech}}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+c$

$\int \frac{du}{u\sqrt{a^2+u^2}}=-\frac{1}{a}{\mathrm{csch}}^{-1}\left|\frac{u}{a}\right|+c$

ក្នុងកន្សោមខាងលើ C ត្រូវបានគេហៅថា ថេរអាំងតេក្រាល។

កន្សោមស៊េរីតាយល័រ

អនុគមន៍ខាងលើគ៏អាចសំដែងជាសេរីតាយល័រផងដែរ។

$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\coth x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}{B}_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (សេរីឡូរង់)

$\mathrm{sech}x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}-\frac{61x^6}{720}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_{2n}{x}^{2n}}{(2n)!},\left|x\right|<\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{csch}x=\frac{1}{x}-\frac{x}{6}+\frac{7x^3}{360}-\frac{31x^5}{15120}+\cdots =\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1-2^{2n-1})B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!},0<\left|x\right|<\pi$ (សេរីឡូរង់ Laurent series)

ដែល

$B_n$ គឺជាចំនួនប៊ែរនូយីទី $n$

$E_n$ គឺជាចំនួនអឺលែរទី $n$

លក្ខណៈដូចគ្នានឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

$\tanh (x+y)=\frac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$

រូបមន្តមុំឌុប

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x$

$\cosh 2x={\cosh }^{2}x+{\sinh }^{2}x=2{\cosh }^{2}x-1=2{\sinh }^{2}x+1$

រូបមន្តកន្លះមុំ

${\cosh }^2\frac{x}{2}=\frac{\cosh x+1}{2}$

${\sinh }^2\frac{x}{2}=\frac{\cosh x-1}{2}$

${\tanh }^{2}x=1-{\mathrm{sech}}^{2}x$

${\coth }^{2}x=1+{\mathrm{csch}}^{2}x$

ដេរីវេនៃ $\sinh x$ គឺ $\cosh x$ និង ដេរីវេនៃ $\cosh x$ គឺ $\sinh x$ ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកនិងអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ទាញចេញពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក និង កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក យើងបានលក្ខណៈដូចខាងក្រោម៖

$e^x=\cosh x+\sinh x$

និង

$e^{-x}=\cosh x-\sinh x.$

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តអឺលែរ កន្សោមទាំងនេះមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានិងកន្សោមស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស ដែលវាជាផលបូកនៃអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកចំពោះចំនួនកុំផ្លិច

ទំនាក់ទំនងចំពោះ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតា​គឺត្រូវបានអោយដោយរូបមន្តអឺលែរចំពោះចំនួនកុំផ្លិច៖

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

ដូច្នេះ

$\cosh ix=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x$

$\sinh ix=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i\sin x$

$\tanh ix=i\tan x$

$\cosh x=\cos ix$

$\sinh x=-i\sin ix$

$\tanh x=-i\tan ix$

អនុគមន៍អ៊ីពែលីកក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

$\sinh (z)$	$\cosh (z)$	$\tanh (z)$	$\coth (z)$	$\mathrm{sech}(z)$	$\mathrm{csch}(z)$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់
• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក