កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​នៅលើ​ដែនកំនត់ $ℝ$

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​គឺ​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និមយន័យ

អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ cosh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

$\begin{array}{cccc}\cosh :& ℂ& ⟶& ℂ\\ & z& ⟼& \frac{e^z+e^{-z}}{2}\end{array}$

ដែល $e$ គឺជាអនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែលកុំផ្លិច។

អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកក៏មានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងអនុគមន៍ស៊ីនុសក្នុងធរណីមាត្រអ៊ីពែបូលីកដែរ។

គេនិយមសរសេរ

$\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។ អាចនិយាយថាវាស្ថិតនៅក្នុងថ្នាក់ $C^{\mathrm{\infty }}$
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (cosh) គឺជា អនុគមន៍​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក (sinh)

$\frac{d}{dx}(\cosh x)=(\cosh x{)}^{\prime }=(\sinh x)$

• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកគឺ sinh + C ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល

$\int \cosh xdx=\sinh x+C$

• អនុគមន៍​កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកជាអនុគមន៍គូ មានដែនកំនត់លើ $ℝ$ និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាតលើ ${ℝ}^{+}$ ។

លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

តាមនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍កូស៊ីនុស​និង​ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក គេអាចទាញបានសមភាពដូចខាងក្រោម៖

$e^z=\cosh z+\sinh z$

$e^{-z}=\cosh z-\sinh z$

សមភាពនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងរូបមន្តអយល័រក្នុងត្រីកោណមាត្រ (ខ្មែរយើងភាគច្រើនអានថាអឺលែរ)​។

ដូចគ្នាដែរ ចំពោះកូអរដោនេ $(\cos t,\sin t)$ កំនត់បានរង្វង់មួយ។ $(\cos t,\sin t)$ កំនត់បានផ្នែកវិជ្ជមាននៃប៉ារ៉ាបូលនិយ័តមួយ។ គេបានចំពោះ $t>0$

${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$

ម្យ៉ាងវិញទៀតចំពោះ $x\in ℝ$

$\cosh (ix)=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}=\cos x$

$\cosh x=\cos (ix)$

$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

${\cosh }^2\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\cosh x}{2}$

ស៊េរីតេល័រ

cosh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេមិនកំនត់ និងអាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រដូចខាងក្រោម៖

$\cosh z=1+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^6}{6!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ cosh

• $\cosh (0)=1$
• $\cosh (1)=\frac{e^2+1}{2e}$
• $\cosh (i)=\cos (1)$

អនុគមន៍ច្រាស់

អនុគមន៍ច្រាស់នៃ cosh តាងដោយ arccosh ឬ arcosh ឬ ${\cosh }^{-1}$។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ $]-\mathrm{\infty };1[$ ។

$\mathrm{arcosh}(z)=\ln (z+\sqrt{z+1}\sqrt{z-1})$

ចំពោះ $x\in [1;+\mathrm{\infty }[$ cosh មានដែនកំនត់លើ $ℝ$ ហើយអនុគមន៍ច្រាស់របស់វាកំនត់ដោយ៖ $\mathrm{arcosh}(x)=\ln (x\pm \sqrt{x^2-1})$

ក្រាបនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីកច្រាស់ $\mathrm{arcosh}(x)$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• តង់សង់អ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក