តង់សង់អ៊ីពែបូលីក

ក្រាបនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​លើដែនកំនត់ $ℝ$

ក្នុង​គណិតវិទ្យា អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​​គឺ​​ជា​ប្រភេទ​មួយ​​នៃ​អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក​។

និយមន័យ

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក​ត្រូវបានគេកំនត់សរសេរដោយ tanh គឺជាអនុគមន៍ចំនួនកុំផ្លិចដូចខាងក្រោម៖

$\begin{array}{cccc}\tanh :& ℂ& ⟶& ℂ\\ & z& ⟼& \frac{\sinh (z)}{\cosh (z)}\end{array}$

ដែល $\sinh$ គឺជា​អនុគមន៍ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​ និង $\cosh$ គឺជា​អនុគមន៍កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក​។ និយមន័យនេះមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹង​អនុគមន៍តង់សង់​ដែរ ដែលតង់សង់គឺជាផលធៀបរវាងស៊ីនុស និង កូស៊ីនុស។

អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh អាចសរសេរដោយប្រើប្រាស់​​អនុគមន៍អិចស្បូណង់ស្យែល៖

$\tanh (z)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}=\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}$

លក្ខណៈទូទៅ

• អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) ជាអនុគមន៍ជាប់ និង មានដេរីវេអនន្ត (មានដេរីវេមិនចេះចប់) ។
• ដេរីវេនៃអនុគមន៍​​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក (tanh) គឺ $\frac{1}{{\cosh }^2}$ ។
• ព្រីមីទីវនៃអនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីកគឺ $\ln \left(\cosh \right)+C$ ដែល C ជាថេរអាំងតេក្រាល​។
• អនុគមន៍​តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh ជាអនុគមន៍សេស មានដែនកំនត់លើ \mathbb R និងជាអនុគមន៍កើនដាច់ខាត​។
• tanh ជាចំលើយមួយនៃសមីការឌីផេរ៉ងស្យែល $\frac{1}{2}{f}^{″}=f^3-f$ ។

ស៊េរីតេល័រ

tanh ជាអនុគមន៍មានដេរីវេអនន្ត

${\tanh }^{(n)}(0)=\sum _{k=0}^{n-1}{(-1)}^k⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}⟩$

ដែល $⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}⟩$ ជាចំលាស់នៃ $\{1,...,n\}$

tanh អាចពន្លាតជាស៊េរីតេល័រចំពោះគ្រប់ចំនុចដូចខាងក្រោម៖

$\tanh z=z-\frac{z^3}{3}+\frac{2z^5}{15}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\tanh }^{(n)}(0)}{(2n+1)!}{z}^{2n+1}$

ពន្លាតជាប្រភាគតៗគ្នា

tanh ជាអនុគមន៍កំនត់លើ $ℝ$ និងអាចពន្លាតជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់ដូចតទៅ៖

$\tanh x=\frac{x}{1+\frac{x^2}{3+\frac{x^3}{5+\cdots }}}$

តំលៃ

តំលៃមួយចំនួននៃ tanh

• $\tanh (0)=0$
• $\tanh (1)=\frac{e^2-1}{e^2+1}$
• $\tanh (i)=i\tan (1)$

អនុគមន៍ច្រាស់

ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍ artang (x)

អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh តាងដោយ artanh ឬ arctanh ឬ ${\tanh }^{-1}$ (ហៅថា​អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីកច្រាស់)។ វាជាអនុគមន៍ពហុតំលៃកុំផ្លិច។ សាខាគោលការណ៍ (Principal branch) គឺជាជំរើសទូទៅដោយការពុះចែកអង្កត់ $]-\mathrm{\infty };-1[$ និង $]1;+\mathrm{\infty }[$ ។

$\mathrm{artanh}(z)=\frac{1}{2}(\ln (1+z)-ln(1-z))$

ចំពោះ $x\in ]-1;1[$ អនុគមន៍តង់សង់អ៊ីពែបូលីក tanh មាន​ដែនកំនត់​លើ $ℝ$ ហើយ​អនុគមន៍ច្រាស់​របស់​វា​កំនត់ដោយ៖

$artanh(x)=\frac{1}{2}ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ ។

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• កូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក
• កូតង់សង់អ៊ីពែបូលីក