រូបមន្តហេរុង

ត្រីកោណដែលមានប្រវែងជ្រុង a b និង c ។

រូបមន្តហេរុង (Heron's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ នៅពេលដែលគេស្គាល់ប្រវែងជ្រុងទាំង៣នៃត្រីកោណនោះ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តហេរុងចែងថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលមានជ្រុងរៀងគ្នា a, b និង c គឺកំនត់ដោយរូបមន្ត

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

ដែល p ជាប្រវែងកន្លះបរិមាត្រនៃត្រីកោណកំនត់ដោយរូបមន្ត

$p=\frac{a+b+c}{2}$ ។

ដោយមិនប្រើអក្សរ p រូបមន្តហេរុងអាចសរសេរ

$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

សំរាយបញ្ជាក់

រូបមន្តហេរុងអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើ ផលធៀបត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងការដាក់ជាផលគុណកក្តា។

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានប្រវែងជ្រុងរៀងគ្នា a b c និងមុំឈមនៃជ្រុងនិមួយៗ A B C ហើយនិង h ជាកំពស់គូសពីកំពូល A មកជ្រុង BC។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

និងទំនាក់ទំនង

$\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}$

នោះគេបានក្រលាផ្ទៃ S នៃត្រីកោណABC ស្មើនឹង

$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-{\cos }^{2}C}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ & =\frac{1}{2}ab\sqrt{(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab})(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab})}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{((a+b{)}^2-c^2)(c^2-(a-b{)}^2)}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\\ \end{array}$

គេទទួលបាន​រូបមន្ត​ហេរុង​ដោយជំនួស $a=2p-b-c$ គេបាន

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

លក្ខណៈទូទៅ

រូបមន្តហេរុងជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula ) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹក្នុងរង្វង់។ រូបមន្តទាំងពីរសុទ្ធជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ ក្នុងករណីទាំងពីរនេះ គេទទួលបានរូបមន្តហេរុងដោយកំនត់អោយរង្វាស់ជ្រុងណាមួយនៃចតុកោណស្មើសូន្យ។

រូបមន្តហេរុងក៏ជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណព្នាយផងដែរ។ គេទទួលរូបមន្តហេរុង​ពីករណីដោយកំនត់អោយ​រង្វាស់ជ្រុងស្របដែលខ្លីអោយស្មើសូន្យ។

រូបមន្តហេរុង​សំដែង​ដោយ​ដេទែមីណង់​រឹសការ៉េនៃ​ចំងាយ​រវាង​កំពូល​ដែល​ផ្តល់​អោយ​ទាំងបី​ដូចខាងក្រោម

$S=\frac{1}{4}\sqrt{\left|\begin{array}{cccc}0& a^2& b^2& 1\\ a^2& 0& c^2& 1\\ b^2& c^2& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right|}$

រូបមន្តហេរុងចំពោះតេត្រាអែត

បើ $U,V,W,u,v,w$ ជាប្រវែងនៃជ្រុងនៃតេត្រាអែត (បីដំបូង​បង្កើតបានត្រីកោណមួយ ; $u$ ឈមនឹង $U$ ហើយ​បង្កើតបានដូចនេះជាបន្តបន្ទាប់.........)

$V=\frac{\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}{192uvw}$

ដែល

$V$ ជាមាឌតេត្រាអែត

$a=\sqrt{xYZ}$

$b=\sqrt{yZX}$

$c=\sqrt{zXY}$

$d=\sqrt{xyz}$

$X=(w-U+v)(U+v+w)$

$x=(U-v+w)(v-w+U)$

$Y=(u-V+w)(V+w+u)$

$y=(V-w+u)(w-u+V)$

$Z=(v-W+u)(W+u+v)$

$z=(W-u+v)(u-v+W)$