ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ

ឯកសារ:ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ.png

គេមានត្រីកោណ ABC មានកំពស់ AH = h រង្វាស់ជ្រុង a, b និង c (BC = a, AC = b, AB = c) និងមុំរៀងគ្នា A, B​ និង C ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC អាចកំនត់តាមរូបមន្តខាងក្រោម៖

1. $S=\frac{1}{2}ah$
2. $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ ទំព័រគំរូ:Spaces(ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)
3. $S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin (B+C)}$
4. $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ទំព័រគំរូ:Spaces(រូបមន្តហេរុង)
   ដែល $p=\frac{a+b+c}{2}$ (p ជាកន្លះបរិមាត្រ)
5. $S=\frac{f\times g}{2}-\frac{v\times w}{2}$
   (f, g, v, w ជារង្វាស់ប្រវែងបង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ)
6. $S=\frac{1}{2}|(x_B\cdot y_A-x_A\cdot y_B)+(x_C\cdot y_B-x_B\cdot y_C)+(x_A\cdot y_C-x_C\cdot y_A)|$
7. ប្រសិនបើកំពូលត្រីកោណគឺជាចំនួនចំនុច (ចំនួនចំនុចជាចំនួនគត់) នៅលើផ្ទៃជាក្រលា នោះគេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ
   S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + កន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ − ១

សំរាយបញ្ជាក់

• (១). ក្រលាផ្ទៃ = $S=\frac{1}{2}ah$ (ពាក់កណ្តាលនៃកំពស់គុណនឹងបាត)

ឯកសារ:សំរាយបញ្ជាក់ក្រលាផ្ទៃ.png

• សំរាយបញ្ជាក់ថា $S=\frac{1}{2}ah$

$h$ ជាកំពស់នៃត្រីកោណ ដែលបាតមានរង្វាស់ស្មើ $a$ (បាតជាជ្រុងឈមនឹងកំពស់)។

ចតុកោណកែងធំ (ចតុកោណ $A^{\prime }BC{A}^{″}$)បង្កើតបានជាចតុកោណកែងតូចៗចំនួនពីរ (ចតុកោណ $A^{\prime }BHA$ និង $AHC{A}^{″}$ )ដែលមានក្រលាផ្ទៃ $d\times h$ និង $e\times h$ (ក្រលាផ្ទៃចតុកោណស្មើនឹង ទទឹងគុណបណ្តោយ) ។ ដូចនេះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណធំ (ត្រីកោណ ABC ) បង្ហើតបានជាត្រីកោណកែងតូចចំនួនពីរ (ត្រីកោណ ABH និង AHC) ដែលក្រលាផ្ទៃរបស់វាស្មើនឹងកន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែងតូច។ មានន័យថា

• ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច ($\mathrm{△}ABH$) = កន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែង($A^{\prime }BHA$) = $\frac{1}{2}d\times h$

$S_{ABH}=\frac{1}{2}{S}_{A^{\prime }BHA}=\frac{1}{2}dh$

• ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូច ($\mathrm{△}AHC$) = កន្លះក្រលាផ្ទៃចតុកោណកែង($ABH{A}^{″}$) = $\frac{1}{2}e\times h$

$S_{AHC}=\frac{1}{2}{S}_{ABH{A}^{″}}=\frac{1}{2}eh$

• ក្រលាផ្ទៃធំស្មើនឹងផលបូកនៃក្រលាផ្ទៃត្រីកោណតូចទាំងពីរ

$S_{ABC}=S_{ABH}+S_{AHC}=\frac{1}{2}dh+\frac{1}{2}eh=\frac{1}{2}(d+e)h$

ដោយ $d+e=a$ គេបាន

$S_{ABC}=\frac{1}{2}ah$

• (២). ក្រលាផ្ទៃ = $S=\frac{1}{2}ab\sin C$

AHC ជាត្រីកោណកែង នោះគេបានកំពស់ $AH=h=b\cdot sinC$ ។​ ដោយប្រើលទ្ធផលសំរាយបញ្ជាក់ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$S_{ABC}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin C$

ដូចគ្នាដែរ បើ $h_b$ ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល $B$ និង $h_c$ ជាកំពស់គូសចេញពីកំពូល $C$ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$S_{ABC}=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}ac\sin B$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}c{h}_c=\frac{1}{2}bc\sin A$

ដូចនេះ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ក្នុងករណីគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរ និង មុំមួយនៃត្រីកោណ កំនត់ដោយ

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

• (៣). ក្រលាផ្ទៃ = $S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin (B+C)}$

ក្នុងលទ្ធផលនៃសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ មិនមានករណីពិសេសអំពីមុំនិងបន្ទាត់ជាប់មុំត្រូវបានប្រើប្រាស់ទេ។ តាមសំរាយបញ្ជាក់ (២) ខាងលើ ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

$\Rightarrow \frac{abc}{2S_{ABC}}=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ទំព័រគំរូ:Spaces (ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស)

ដូចនេះយើងអាចប្រើ $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ $S_{ABC}=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}(i)$

ដោយផលបូករង្វាស់មុំទាំងបីនៃត្រីកោណស្មើនឹង ១៨០^០ $\Rightarrow A+B+C=\pi \Rightarrow A=\pi -B-C$ និង $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ គេបាន $\sin A=\sin (B+C)(ii)$

ជំនួស (ii) ក្នុង (i) គេបាន

$S_{ABC}=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin (B+C)}$

ដូចគ្នាដែរ

$S_{ABC}=\frac{b^2\sin A\sin C}{2\sin (A+C)}$

$S_{ABC}=\frac{c^2\sin A\sin B}{2\sin (A+B)}$

ហេតុនេះ

$S_{ABC}=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin (B+C)}=\frac{b^2\sin A\sin C}{2\sin (A+C)}=\frac{c^2\sin A\sin B}{2\sin (A+B)}$

• (៤). ក្រលាផ្ទៃ = $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

ដែល$p=\frac{a+b+c}{2}$ (p ជាកន្លះបរិមាត្រ)

ចំពោះសំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ សូមមើលរូបមន្តហេរុង!!!

ឯកសារ:ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ.png

• (៥). ក្រលាផ្ទៃ = $S=\frac{f\times g}{2}-\frac{v\times w}{2}$

ក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ស្មើនឹងក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធត្រីកោណ ABC ដកនឹងក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងទាំងបីនៅតាមជ្រុងនៃចតុកោណចេញ។ ហេតុនេះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$\begin{array}{cc}{S}_{ABC}& =f\cdot g-\frac{f\cdot (g-w)}{2}-\frac{(f-v)\cdot g}{2}-\frac{(f-v)\cdot (g-w)}{2}\\ & =\frac{f\cdot g}{2}-\frac{v\cdot w}{2}\end{array}$

វា​ជា​ករណី​ដ៏​ស្មុគស្មាញ​ប្រសិន​កំពូល​នៃ​ត្រីកោណ​មិន​ស្ថិត​នៅ​លើ​ជ្រុង​នៃ​ចតុកោណកែងដែល​ហ៊ុំព័ទ្ធ​ត្រីកោណ​នោះទេ (ដោយសារមានមុំមួយជាមុំទាល)។ ប៉ុន្តែលទ្ធផលរក្សាតំលៃដដែលក្នុងករណីនេះ ដែលរង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណកែងដែលហ៊ុំព័ទ្ធទៅជា f+v និង g+w ហើយរង្វាស់ជ្រុងមួយនៃត្រីកោណក្លាយជាអង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែង។

• (៦). ក្រលាផ្ទៃ = $S=\frac{1}{2}|(x_B\cdot y_A-x_A\cdot y_B)+(x_C\cdot y_B-x_B\cdot y_C)+(x_A\cdot y_C-x_C\cdot y_A)|$

ឯកសារ:ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ.png

តាមរយៈរូបខាងស្តាំ $f=x_B-x_C,g=y_A-y_C,v=x_A-x_C$ និង $w=y_B-y_C$ ។

តាមរូបមន្តទី(៥) ខាងលើ គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

$S_{ABC}==\frac{f\times g}{2}-\frac{v\times w}{2}=\frac{(x_B-x_C)\cdot (y_A-y_C)}{2}-\frac{(x_A-x_C\cdot (y_B-y_C)}{2}$

ប៉ុន្តែលទ្ធផលនៃការគណនារូបមន្តខាងលើអាចអវិជ្ជមាន អាស្រ័យនឹងទិសដៅនៃមុំដែលត្រូវកំនត់យក។ ហេតុនេះចាំបាត់ត្រូវបំបាត់តំលៃដាច់ខាត គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកំនត់ដោយ

$\frac{1}{2}|(x_B\cdot y_A-x_A\cdot y_B)+(x_C\cdot y_B-x_B\cdot y_C)+(x_A\cdot y_C-x_C\cdot y_A))|$

ដោយបូកត្រីកោណទាំងអស់បញ្ចូលគ្នា គេទទួលបានពហុកោណសាមញ្ញមួយ។

• (៧). ក្រលាផ្ទៃ = S = ចំនួនចំនុចដែលស្ថិតនៅក្នុងត្រីកោណ + ពាក់កណ្តាលនៃចំនួនចំនុចនៅតាមគែមនៃជ្រុងត្រីកោណ − ១

ចំពោះចតុកោណកែងដែលគែមរបស់វាមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងគឺ $xy$ ។ ចំនួននៃចំនុចស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងដោយមិនលំអៀងនៃចតុកោណកែងគឺ $(x-1)(y-1)$ ខណៈដែលចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែងគឺ $2x+2y$ ។

ពីព្រោះ $(x-1)(y-1)+(2x+2y)-1=xy$ ជាលទ្ធផលត្រឹមត្រូវចំពោះចតុកោណកែងនៃទំរង់នេះ។

ចំពោះត្រីកោណកែងដែលគែមដែលខ្លីមានប្រវែង x និង y ស្ថិតនៅតាមផ្ទៃនៃក្រលា នោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណកែងគឺ $\frac{1}{2}xy$ ពីព្រោះវា និង រង្វិលរបស់វាប៉ុនគ្នា ហើយរួមគ្នាបង្កើតបាន​ចតុកោណកែង​មួយដែលពុះច្រៀក​ដោយ​អង្កត់ទ្រួងនៃចតុកោណកែងនោះ។ ចំនួននៃចំនុចដែលស្ថិតនៅចំផ្នែកក្នុងត្រីកោណកែងឥតល្អៀងគឺ $\frac{(x-1)(y-1)}{2}-\frac{z}{2}$ ដែល z ជាចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើអង្កត់ទ្រូង (ប៉ុន្តែមិនស្ថិតនៅលើកំពូលទេ) ខណៈដែលចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើគែមគឺ $x+y+z+1$ ។

ពីព្រោះ $(x-1)\frac{(y-1)}{2}-\frac{z}{2}+(x+y+z+1)-1=\frac{xy}{2}$ គឺជាលទួ្ធផលត្រឹមត្រូវចំពោះត្រីកោណកែងនៃទំរង់នេះ។

យើងអាចប្រើបច្ចេកទេសពុះបំបែកនេះដើម្បីដកចំនួននៃត្រីកោណកែងណាមួយចេញពីចតុកោណកែង ដោយមិន​ចាំបាច់​មាន​កន្លះចតុកោណកែង ពីព្រោះ​ក្រលាផ្ទៃ​នៃ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដែលនៅសល់ បូក នឹងក្រលាផ្ទៃត្រីកោណកែងនោះ​គឺជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណកែងដើម។ ចំនួនចំនុចដែល​ស្ថិតនៅ​លើគែម​នៃ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដែល​នៅសល់ និង ចំនួនចំនុច នៅលើគែម​នៃ​ត្រីកោណកែង​ គឺស្មើនឹង ផលបូកនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែមនៃចតុកោណកែង ជាមួយនឹងពីរដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម និងជាមួយនឹង ពីរដងនៃចំនួនចំនុចស្ថិតនៅលើត្រីកោណកែង។ ចំនួន​ចំនុច​​ស្ថិត​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ក្នុង​នៃទ្រង់ទ្រាយ​ដែល​នៅសល់ និង ផ្នែកខាងក្នុងនៃត្រីកោណកែង​គឺស្មើនឹង​ចំនួនចំនុចស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃ​ចតុកោណកែង​ដែល​តិចជាង​ចំនួនចំនុច​ស្ថិតនៅ​លើ​គែមមួយ។ ហេតុនេះ​ចំពោះ​ទ្រង់ទ្រាយ​ដែល​នៅសល់​ដែលករណីនេះ​ជាករណីត្រីកោណទូទៅ​ លទ្ធផលគឺថាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណគឺជា​ចំនួនចំនុច​ស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃ​ត្រីកោណ​បូកនឹង​កន្លះដងនៃចំនួនចំនុចនៅលើគែម ដកនឹង ១ ចេញ។

ដោយដាក់ត្រីកោណបញ្ចូលរួមគ្នា គេអាចទទួលបានលទ្ធផលទូទៅ​ចំពោះពហុកោណសាមញ្ញផងដែរជាមួយនឹងកំពូលត្រង់ចំនុចដែល​ជាចំនួនគត់នៅលើផ្ទៃនៃក្រលា។​

ឯកសារ:ក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ (៧).png