រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ជារូបមន្តសំរាប់រកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណមួយចំនួន​ ដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុង និង មុំមួយចំនួននៃចតុកោណនោះ។ ក្នុងទំរង់​ទូទៅរបស់វា រូបមន្តនេះអាចរកក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

ទំរង់គ្រឹះ

ទំរង់គ្រឹះ​និងងាយចង់ចាំរបស់វាគឺថា រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា​អាចអោយយើង​កំនត់បាននូវ​ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​ដែលជ្រុងមានរង្វាស់ជ្រុង a b c និង d ។ ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណនេះកំនត់ដោយៈ

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

ដែល p គឺជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ កំនត់ដោយ

$p=\frac{a+b+c+d}{2}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរុងចំពោះក្រលាផ្ទៃត្រីកោណ ។ នៅពេលដែល d = 0 គេបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង។

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់​គឺអាចមានតំលៃអតិបរមា​ចំពោះចតុកោណមួយចំនួនដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងរបស់វា។

ករណីពិសេស

• ចំពោះការ៉េ : $b=c=d=a,p=2a\Rightarrow S=\sqrt{a^4}=a^2$
• ចំពោះចតុកោណកែង : $a=b=L,c=d=l,p=(L+l)\Rightarrow S=\sqrt{L^2\cdot l^2}=L\cdot l$

បំណកស្រាយរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ = ក្រលាផ្ទៃនៃ $\mathrm{△}ADB$ + ក្រលាផ្ទៃនៃ $\mathrm{△}BDC$

$=\frac{1}{2}ab\sin A+\frac{1}{2}cd\sin C$

ប៉ុន្តែដោយសារ $ABCD$ ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន $\mathrm{\angle }DAB=180^{\circ }-\mathrm{\angle }DCB$ ហេតុនេះ $\sin A=\sin C$ ដូច្នេះ

$S=\frac{1}{2}ab\sin A+\frac{1}{2}cd\sin A$

$S^2=\frac{1}{4}{\sin }^{2}A(ab+cd{)}^2$

$4S^2=(1-{\cos }^{2}A)(ab+cd{)}^2$

$4S^2=(ab+cd{)}^2-co{s}^{2}A(ab+cd{)}^2$

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុសចំពោះ $\mathrm{△}ADB$ និង $\mathrm{△}BDC$ រួចសរសេរសមីការជាកន្សោមចំពោះជ្រុង $DB$ យើងបាន

$a^2+b^2-2ab\cos A=c^2+d^2-2cd\cos C$

ដោយជំនួស $\cos C=-\cos A$ (ពីព្រោះមុំ $A$ និង មុំ $C$ ជាមុំបំពេញគ្នា) រួចផ្តុំវាឡើង យើងបាន

$2\cos A(ab+cd)=a^2+b^2-c^2-d^2$

ជំនួសវាក្នុងសមីការក្រលាផ្ទៃ យើងបាន

$4S^2=(ab+cd{)}^2-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2{)}^2$

$16S^2=4(ab+cd{)}^2-(a^2+b^2-c^2-d^2{)}^2$

តាមរូបមន្ត $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ គេបាន

$(2(ab+cd)+a^2+b^2-c^2-d^2)(2(ab+cd)-a^2-b^2+c^2+d^2)$

$=((a+b{)}^2-(c-d{)}^2)((c+d{)}^2-(a-b{)}^2)$

$=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)$

តាង $p=\frac{a+b+c+d}{2}$ (ជាកន្លះបរិមាត្រនៃចតុកោណ ABCD) យើងបាន

$16S^2=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)$

ដោយបំបាត់ការ៉េ ដោយបំពាក់រឹសការ៉េ យើងបានរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាដូចខាងក្រោម

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាចំពោះចតុកោណមិនចារឹកក្នុងរង្វង់

ក្នុងករណីចតុកោណមិនចារឹក្នុងរង្វង់ទេ រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាអាចត្រូវបានបន្លាយ​ដោយវាស់មុំឈមគ្នាពីរនៃចតុកោណ៖

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd{\cos }^2\theta }$

ដែល $\theta$ ជាកន្លះផលបូកនៃមុំឈមទាំងពីរ។ (គូនៃមុំគឺមិនទាក់ទងគ្នាទេ ប្រសិនបើមុំពីរផ្សេងទៀតត្រូវបានយក ហើយកន្លះផលបូករបស់វាជាមុំបំពេញនៃ $\theta$ ។ ពីព្រោះ $\cos (180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta$ គេបាន ${\cos }^2(180^{\circ }-\theta )={\cos }^2\theta$

រូបមន្តនេះត្រូវបានគេស្គាល់ជាទូទៅថាជារូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌើ (Bretschneider's formula) ដោយយោងតាមគេហទំព័រ_MathWorld រូបមន្តប្រេតស៍ឆ្នេឌឺត្រូវបានគេសរសេរជា

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}$

ដែល m និង n ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ។

វាជាលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ (និងទីបំផុតជាមុំចារឹកក្នុងរង្វង់) ដែលផលបូកមុំឈមនៃចតុកោណស្មើនឹង ១៨០° ។ ហេតុដូចនេះ ក្នុងករណីចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ $\theta =90^{\circ }$ ដូចនេះ

$abcd{\cos }^2\theta =abcd{\cos }^2\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0$

ផ្តល់នូវទំរង់គ្រឹះនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា។

ទ្រឹស្តីបទពាក់ព័ន្ធ

ក្នុងករណីដែល d = 0 រូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតាក្លាយជារូបមន្តហេរុង ដែលជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។

ទំនាក់ទំនងរវាងទំរង់ទូទៅ និង ទំរង់បន្លាយ​នៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា គឺមានលក្ខណៈស្រដៀងគ្នានឹងរបៀបដែល​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស​បន្លាយជា​ទ្រឹស្តីបទពីតាករ។