អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា

ក្រាប​នៃ​អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​​តាមបណ្តោយអ័ក្សពិត ពណ៌ទឹកក្រូច m = 0, ពណ៌លឿង m=1, ពណ៌បៃតង m=2, ពណ៌ក្រហម m=3 និងពណ៌ខៀវ m=4

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍​ពហុហ្គាំម៉ា​នៃលំដាប់ m គឺកំនត់ជាដេរីវេលោការីតទី (m + 1) នៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា​៖

${\psi }^{(m)}(z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^m\psi (z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^{m+1}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$

ទីនេះ

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

គឺជា​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា និង $\mathrm{\Gamma }(z)$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា ។ អនុគមន៍ ${\psi }^{(1)}(z)$ ជួនកាលត្រូវបានគេហៅថា​អនុគមន៍ទ្រីហ្គាំម៉ា (trigamma function) ។

លោការីតនៃ​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា និង អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ដំបូងមួយចំនួនក្នុង​ប្លង់កុំផ្លិច

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$	${\psi }^{(0)}(z)$	${\psi }^{(1)}(z)$	${\psi }^{(2)}(z)$	${\psi }^{(3)}(z)$	${\psi }^{(4)}(z)$

និយមន័យតាមអាំងតេក្រាល

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាអាចតំណាងជាអាំងតេក្រាល

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{(m+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាព Re z >0 និង m > 0 ។ ចំពោះ m = 0 សូមមើលនិយមន័យនៃ​អនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា ។

ទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ាមានទំនាក់ទំនងរវាងតួជាប់គ្នា

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+(-1{)}^{m}m!z^{-(m+1)}$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

$k^m{\psi }^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m-1)}(z+\frac{n}{k})$

ចំពោះ $m>1$ និងចំពោះ $m=0$ រូបមន្តផលគុណនៃអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា៖

$k(\psi (kz)-\log (k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k})$

តំណាងស៊េរី

អនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​មានតំណាងស៊េរី

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}}$

ដែលមានប្រសិទ្ធភាពចំពោះ $m>0$ និងចំពោះចំនួនកុំផ្លិច $z$ មិនមែនជាចំនួនគត់អវិជ្ជមាន​។ តំណាង​នេះ​អាច​ត្រូវ​បាន​គេសរសេរ​បង្រួមឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃ​អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function)

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z)$

អនុគមន៍ហឺវីតហ្សេតា (Hurwitz zeta function) អាចត្រូវបានគេស្គាល់ជា​អនុគមន៍ទូទៅ​នៃអនុគមន៍ពហុហ្គាំម៉ា​ចំពោះ​​លំដាប់​មិនមែនជាចំនួនគត់ $ℂ\mathrm{\setminus }{\mathbb{Z}}^{-}$

ស៊េរីតាយល័រ

ស៊េរីតាយល័រត្រង់ចំនុច z=1 គឺ

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!}$

ដែលទាល់ចំពោះ $|z|<1$ ។ ទីនេះ $\zeta (n)$ គឺជា​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)