អនុគមន៍បែតា

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍បែតា ឬហៅថាអាំងតេក្រាលអយលឺនៃប្រភេទទី១ (អាំងតេក្រាលអយល័រ, Euler integral) គឺជាអនុគមន៍កំនត់ដោយ

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$

ចំពោះ $\text{Re}(x),\text{Re}(y)>0$

អនុគមន៍បែតាត្រូវបានសិក្សាដោយអយល័រ (ឬអឺលែរ) និង គណិតវិទូបារាំង អាដ្រៀន ម៉ារី ឡឺហ្សង់ (Adrien-Marie Legendre) និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះដោយគណិតវិទូ រូបវិទូ និង តារាវិទូ ជនជាតិ​បារាំង លោក ហ្សាក់ ប៊ីណេ (Jacques Binet) ។

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតា

អនុគមន៍បែតាជាអនុគមន៍ស៊ីមេទ្រី មានន័យថា $\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(y,x)$

អនុគមន៍បែតាមានទំរង់ជាច្រើនរួមមាន:

• $\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

• $\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}d\theta ,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

• $\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\text{Re}(x)>0,\text{Re}(y)>0$

• $\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n}$

• $\mathrm{B}(x,y)=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{xy}{n(x+y+n)})}^{-1}$

• $\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}$

ដែល $\mathrm{\Gamma }$ គឺជាអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា (gamma function) ។ សមភាពទី២បង្ហាញករណីពិសេស $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$ ។

ទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍បែតា និង អនុគមន៍ហ្គាំម៉ា

ដើម្បីទាញរកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បែតា យើងត្រូវសរសេរផលគុណហ្វាក់តូរ្យែលជា

$\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{x-1}du\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-v}{v}^{y-1}dv$

តាង $u\equiv a^2$ និង $v\equiv b^2$ យើងបាន

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =4\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-a^2}{a}^{2x-1}\mathrm{d}a\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-b^2}{b}^{2y-1}db\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(a^2+b^2)}|a{|}^{2x-1}|b{|}^{2y-1}dadb\end{array}$

បំលែងវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេប៉ូលែរដោយ $a=r\cos \theta$ និង $b=r\sin \theta$:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}|r\cos \theta {|}^{2x-1}|r\sin \theta {|}^{2y-1}rdrd\theta \\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2x+2y-2}rdr\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}|d\theta \\ & =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}{r}^{2(x+y-1)}d(r^2)4\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}d\theta \\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\cos \theta {)}^{2x-1}(\sin \theta {)}^{2y-1}d\theta \\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y)\end{array}$

ហេតុនេះ សរសេរឡើងវិញនូវអាគុយម៉ង់ជាមួយនឹងទំរង់ធម្មតានៃអនុគមន៍បែតា យើងបាន

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

$\begin{array}{cc}\Rightarrow \mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{s}^{y-1}{e}^{-s}ds\\ & =\underset{t=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{s=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{s}^{y-1}{e}^{-(t+s)}dsdt\end{array}$

អាគុយម៉ង់ក្នុងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលជំរុញអោយយើងប្រើវិធីជំនួស

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\sigma =s+t\\ \tau =t\end{array}\Rightarrow |J|=1\end{array}$

ដែល $J$ ជាយ៉ាកូប៊ីនៃបំលែង។ ដោយប្រើបំលែងនេះយើងទាញបាន

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{\sigma =0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{\tau =0}{\overset{\sigma }{\int }}{\tau }^{x-1}(\sigma -\tau {)}^{y-1}{e}^{-\sigma }d\tau d\sigma \\ & =\underset{\sigma =0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{\tau =0}{\overset{\sigma }{\int }}{\tau }^{x-1}{\sigma }^{y-1}(1-\frac{\tau }{\sigma }{)}^{y-1}{e}^{-\sigma }d\tau d\sigma \end{array}$

ដោយប្រៀបធៀបនឹងអនុគមន៍បែតា $\mathrm{B}(x,y)$ យើងបាន

$r=\frac{\tau }{\sigma },q=\sigma$ ទំព័រគំរូ:Spacesដែលយ៉ាកូប៊ីទំព័រគំរូ:Spaces $|J|=q$

គេទាញបាន

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)& =\underset{q=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{r=0}{\overset{1}{\int }}q(rq{)}^{x-1}{q}^{y-1}(1-r{)}^{y-1}{e}^{-q}drdq\\ & =\underset{q=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{r=0}{\overset{1}{\int }}{r}^{x-1}(1-r{)}^{y-1}{q}^{x+y-1}{e}^{-q}drdq\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{q}^{x+y-1}{e}^{-q}dq\underset{0}{\overset{1}{\int }}{r}^{x-1}(1-r{)}^{y-1}dr\\ & =\mathrm{\Gamma }(x+y)\mathrm{B}(x,y)\end{array}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បែតា

ដេរីវេនៃអនុមន៍បែតាកំនត់ដោយ

$\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)(\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}-\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)})=\mathrm{B}(x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))$

ដែល $\psi (x)$ ជាអនុគមន៍ឌីហ្គាំម៉ា (digamma function) ។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញជាអនុគមន៍ទូទៅ​នៃ​អនុគមន៍បែតា​ដែលជំនួសអាំងតេក្រាលកំនត់នៃអនុគមន៍បែតាដោយអាំងតេក្រាលមិនកំនត់។ ករណីនេះ​គឺ​ដូចគ្នា​នឹង​អនុគមន៍ហ្គាំម៉ាមិនពេញលេញ​ដែរ ដែលវាជាអនុគមន៍ទូទៅនៃអនុគមន៍ហ្គាំម៉ា។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញកំនត់ដោយ

$\mathrm{B}(x;a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt$

ចំពោះ $x=1$ អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញត្រូវគ្នានឹងអនុគមន៍បែតាពេញលេញ (មានន័យថាវាជាអនុគមន៍បែតា) ។

អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ​ដែលត្រូវបានគេធ្វើអោយទៀងទាត់​ត្រូវបានគេកំនត់ជាអនុគមន៍​នៃ​អនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ និង អនុគមន៍បែតាពេញលេញ។

$I_x(a,b)=\frac{\mathrm{B}(x;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}$

ជាមួយនឹងអាំងតេក្រាល (ដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក) ចំពោះតំលៃជាចំនួនគត់ a និង b គេបាន

$I_x(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}\frac{(a+b-1)!}{j!(a+b-1-j)!}{x}^j(1-x{)}^{a+b-1-j}$

លក្ខណៈនៃអនុគមន៍បែតាមិនពេញលេញ

$I_0(a,b)=0$

$I_1(a,b)=1$

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$