អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក

ក្នងការគណនា និងក្នុងការវិភាគគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលដោយផ្នែកជាក្បួនមួយដែលបំលែងផលគុណអាំងតេក្រាល​នៃអនុគមន៍​ទៅជាអាំងតេក្រាលអនុគមន៍ងាយៗ​ដើម្បីសំរួលដល់ការគណនា ។

ក្បួន

សន្មត f(x) និង g(x) ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានដេរីវេនៅក្នុងចន្លោះ a និង b នោះគេបានក្បួនអាំងតេក្រាលដោយផ្នែកសំដែងដោយ៖

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx={[f(x)g(x)]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx$

ជាទូទៅ

${[f(x)g(x)]}_a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$

ក្បួននេះបង្ហាញថាពិតជាត្រឹមត្រូវ​ដោយប្រើប្រាស់ក្បួនផលគុណជំពោះដេរីវេ និងទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា។ ដូច្នេះ៖

$f(b)g(b)-f(a)g(a)$	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dx}(f(x)g(x))dx$
	$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx.$

ចំពោះអាំងតេក្រាលមិនកំនត់ ក្បួនេះសំដែងដោយ

$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx$

នៅក្នុងទំរង់ខ្លី ប្រសិនបើយើងតាង u = f(x), v = g(x) និងឌីផេរ៉ង់ស្យែល du = f ′(x) គេអាចសរសេរ

$\int udv=uv-\int vdu$

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ទី១

$\begin{array}{cc}\int x\cos (x)dx& =x\sin (x)-\int \sin (x)dx\\ & =x\sin (x)+\cos (x)+C\end{array}$

ឧទាហរណ៍ទី២

$\begin{array}{cc}\int x{e}^{x}dx& =x{e}^x-\int e^{x}dx\\ & =x{e}^x-e^x+C\end{array}$

ឧទាហរណ៍ទី៣

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+\int e^x\sin (x)dx.$

ដូចគ្នាដែរ

$\int e^x\sin (x)dx=e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx$

គេបាន

$\int e^x\cos (x)dx=e^x\cos (x)+e^x\sin (x)-\int e^x\cos (x)dx.$

ដូចនេះ

$\int e^x\cos (x)dx=\frac{e^x(\sin (x)+\cos (x))}{2}+C$

ឧទាហរណ៍ទី៤

$\begin{array}{cc}\int \ln (x)dx& =\int \ln (x)\cdot 1dx\\ & =x\ln (x)-\int \frac{x}{x}dx\\ & =x\ln (x)-\int 1dx\\ & =x\ln (x)-x+C\end{array}$