រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន

ក្នុង​គណិតវិទ្យា រូបមន្តអយល័រ​-​ម៉ាក្លូរីន (Euler–Maclaurin formula) (ឬ​ហៅថា​រូបមន្តផលបូកអយល័រ) គឺជា​ទំនាក់ទំនង​រវាង​អាំងតេក្រាល​និង​ផលបូក។ វា​សំដែង​ជាផ​លបូក​នៃ​ស៊េរី​។ វា​ត្រូវបានគេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​រក​តំលៃប្រហែលនៃ​​អាំងតេក្រាល​​ដោយ​ផលបូក​កំនត់​មួយ ឬ ច្រាស់​មក​វិញ​វា​ត្រូវ​បានគេ​ប្រើ​ប្រាស់​ដើម្បីរក​​ផល​បូក​នៃស៊េរី​កំនត់​​និង​​មិន​កំនត់​ដោយ​ប្រើ​អាំងតេក្រាល​និង​​ម៉ាស៊ីន​​សំរាប់​​គណនា។ រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​យ៉ាង​ឯករាជ​ដោយ​គណិតវិទូស្វ៊ីស លេអូណា អយល័រ និង គណិតវិទូស្កុត កូលីន ម៉ាក្លូរីន ប្រហែលជាឆ្នាំ​១៧៣៥​។ អយល័រ​​បាន​ត្រូវ​ការ​វា​ដើម្បី​គណនា​ស៊េរីអនន្ត​​ដែល​ម៉ាក្លូរីន​​បាន​ប្រើវា​ដើម្បី​គណនា​​អាំងតេក្រាល​។

រូបមន្ត

គេ​មាន​ពីរ​ចំនួនគត់ p និង q ។ ចំពោះ​អនុគមន៍ f ជាអនុគមន៍ជាប់​និង​មាន​ដេរីវេ 2k ដងលើចន្លោះ $[p,q]$ គេបាន​រូបមន្តអយល័រ-ម៉ាក្លូរីន​សំដែងដោយ

$\frac{f\left(p\right)+f\left(q\right)}{2}+\sum _{j=p+1}^{q-1}f\left(j\right)=\underset{p}{\overset{q}{\int }}f(x)dx+\sum _{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p))+R$

ដែល

$R=-\underset{p}{\overset{q}{\int }}{f}^{(2k)}(x)\frac{B_{2k}(x-\lfloor x\rfloor )}{(2k)!}dx$

$B_i(x)$ តំណាងអោយ​ពហុធាប៊ែរនូយី​ទី​$i$ និង $B_i(x-\lfloor x\rfloor )$ គឺជាអនុគមន៍ខួប​។ $b_i$ តំណាងអោយ​ចំនួនប៊ែរនូយី​​៖

$b_1=-\frac{1}{2},b_2=\frac{1}{6},b_3=0,b_4=-\frac{1}{30},b_5=0,b_6=\frac{1}{42},b_7=0,b_8=-\frac{1}{30},b_9=0,b_{10}=\frac{5}{66},\cdots$

$B_0(x)=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\dots$

វិធីប្តូរអថេរ​អាច​ទទួល​បាន​រូបមន្ត​ដូចគ្នា​ចំពោះ​អនុគមន៍​មួយ​កំនត់​នៅ​លើ​ចន្លោះ​អង្កត់​មួយ។

សំរាយបញ្ជាក់

យើងនឹងស្រាយបញ្ជាក់រូបមន្តនេះនៅចន្លោះ $[n,n+1]$ ដែល $n\in \mathbb{Z}$ ។

គេ​មាន​អនុគមន៍ $g$ មួយ​ជាប់​និង​មាន​ដេរីវេ​លើ $[n,n+1]$ ។ ដោយ​ប្រើ​លក្ខណៈ​​ពហុធាប៊ែរនូយី : $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}{B}_{k^{\prime }+1}=(k+1)B_k$

ដោយប្រើ​អាំងតេក្រាលដោយផ្នែក គេបាន $\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}g\left(t\right)B_k(t-n)dt={\left[\frac{g\left(t\right)B_{k+1}(t-n)}{k+1}\right]}_n^{n+1}-\frac{1}{k+1}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{g}^{\prime }\left(t\right)B_{k+1}(t-n)dt$

ដោយដឹងថាចំពោះ $k\ge 2$ គេបាន $B_k\left(1\right)=B_k\left(0\right)=b_k$ គេទាញបាន:

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}g\left(t\right)B_k(t-n)dt=\frac{b_{k+1}}{k+1}(g(n+1)-g\left(n\right))-\frac{1}{k+1}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{g}^{\prime }\left(t\right)B_{k+1}(t-n)dt$

តាមទំនាក់ទំនងរវាងតួតគ្នាលើ k ពី $0$ ទៅ $2p$ ដោយយក$g=f^{(2p)}$ គេទាញបាន:

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{f\left(n\right)+f(n+1)}{2}+\sum _{k=2}^{2p}\frac{{(-1)}^{k-1}{b}_k}{k!}(f^{(k-1)}(n+1)-f^{(k-1)}\left(n\right))+\frac{1}{(2p)!}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{f}^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}(t-n)dt$

ចុងបញ្ជប់តាមលក្ខណៈ : $\mathrm{\forall }k\ge 1,b_{2k+1}=0$ គេទាញបាន :

$\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}f\left(t\right)dt=\frac{f\left(n\right)+f(n+1)}{2}+\sum _{k=2}^{\lfloor \frac{p}{2}\rfloor }\frac{b_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n+1)-f^{(2k-1)}\left(n\right))+\frac{1}{(2p)!}\underset{n}{\overset{n+1}{\int }}{f}^{(2p)}\left(t\right)B_{2p}(t-n)dt$