ពហុធាប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា ពហុធាប៊ែរនូយី (Bernoulli polynomials) លេចឡើងក្នុងការសិក្សាផ្នែកជាច្រើននៃអនុគមន៍ និង ជាពិសេស​អនុគមន៍ហ្សេតារីម៉ាន (Riemann zeta function)​ ។

និយមន័យ

ពហុធា​ប៊ែរនូយីគឺជាស្វ៊ីតពហុធាតែមួយគត់ ${\left(B_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ ដែល

• $B_0=1$
• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},B{\text{'}}_{n+1}=(n+1)B_n$
• $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{*}},\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(x)dx=0$

អនុគមន៍តំនពូជ

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាប៊ែរនូយីគឺ

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}$.

អនុគមន៍តំនពូជ (Generating function) ចំពោះពហុធាអយល័រ (Euler polynomials) គឺ

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}$.

ផលបូកនៃស្វ័យគុណទី p

យើងមាន

$\sum _{k=0}^x{k}^p=\frac{B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}$

ចំពោះសេចក្តីលំអិតអំពីរូបមន្តនេះ សូមមើល​រូបមន្តហ្វូលហាប័រ (Faulhaber's formula)

ចំនួនអយល័រ និង ចំនួនប៊ែរនូយី

• ចំនួនប៊ែរនូយី​អោយដោយ $B_n=B_n(0)$ ។
• ចំនួនអយល័រ​អោតយដោយ $E_n=2^n{E}_n(1/2)$ ។

កន្សោមអិចភ្លីស៊ីតចំពោះលំដាប់ទាប

ពហុធាប៊ែរនូយី​ដំបូង​មួយចំនួន

$B_0(x)=1$

$B_1(x)=x-1/2$

$B_2(x)=x^2-x+1/6$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}$

ពហុធាអយល័រ​ដំបូង​មួយចំនួន

$E_0(x)=1$

$E_1(x)=x-1/2$

$E_2(x)=x^2-x$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4}$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2}$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x$

ផលសង

ពហុធាប៊ែរនូយី និង ពហុធាអយល័រ​គោរពតាមទំនាក់ទំនងជាច្រើនពី​ការការគណនានិមិត្តរូប (umbral calculus ឬ symbolic calculus)

$B_n(x+1)-B_n(x)=n{x}^{n-1}$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n$

ដេរីវេ

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x)$

${E_n}^{\prime }(x)=n{E}_{n-1}(x)$

ការបកប្រែ

$B_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k(x)y^{n-k}$

$E_n(x+y)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})E_k(x)y^{n-k}$

ស៊ីមេទ្រី

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x)$

$E_n(1-x)=(-1{)}^n{E}_n(x)$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}$

$(-1{)}^n{E}_n(-x)=-E_n(x)+2x^n$

លក្ខណៈផ្សេងទៀតនៃពហុធាប៊ែរនូយី

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},B_n(x)=2^{n-1}(B_n\left(\frac{x}{2}\right)+B_n\left(\frac{x+1}{2}\right))$

តំលៃពិសេស

$\mathrm{\forall }n>1,B_n(0)=B_n(1)$

$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{*},B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0$

$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{*},B_{2p}\left(\frac{1}{2}\right)=(\frac{1}{2^{2p-1}}-1)B_{2p}(0),B_{2p+1}\left(\frac{1}{2}\right)=0$

ស៊េរីហ្វួរា

ស៊េរីហ្វួរា (Fourier series) នៃពហុធាប៊ែរនូយី​ក៏ជា​ស៊េរីឌីរិចឡេ​​អោយដោយការពន្លាត

$B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi i{)}^n}\sum _{k=0}\frac{e^{2\pi ikx}}{k^n}$

នេះជាករណីពិសេសនៃទំរង់អាណាឡូក (analogous form) ចំពោះ​អនុគមន៍ហ្សេតាហឺវីត (Hurwitz zeta function)

$B_n(x)=-\mathrm{\Gamma }(n+1)\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{(2\pi ikx)}+e^{(2\pi ik(1-x))}}{(2\pi ik{)}^n}$

ការពន្លាតនេះគឺត្រឹមត្រូវតែចំពោះ 0 ≤ x ≤ 1 ដែល n ≥ 2 និងត្រឹមត្រូវចំពោះ 0 < x < 1ដែល n = 1 ។

ស៊េរីហ្វួរា​នៃ​ពហុធាអយល័រ​​អាចគណនាបានផងដែរ ។ កំនត់អនុគមន៍

$C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos ((2k+1)\pi x)}{(2k+1{)}^{\nu }}$

និង

$S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin ((2k+1)\pi x)}{(2k+1{)}^{\nu }}$

ចំពោះ $\nu >1$ ពហុធាអយល័រ​មានស៊េរីហ្វួរា

$C_{2n}(x)=\frac{(-1{)}^n}{4(2n-1)!}{\pi }^{2n}{E}_{2n-1}(x)$

និង

$S_{2n+1}(x)=\frac{(-1{)}^n}{4(2n)!}{\pi }^{2n+1}{E}_{2n}(x)$

សំគាល់ថា $C_{\nu }$ និង $S_{\nu }$ គឺអនុគមន៍សេស​និងគូរៀងគ្នា

$C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)$

និង

$S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x)$

អនុគមន៍ទាំងនេះមានទំនាក់ទំនងនឹង​អនុគមន៍ឈីឡឺហ្សង់ (Legendre chi function) ${\chi }_{\nu }$ ជា

$C_{\nu }(x)=\text{Re}{\chi }_{\nu }(e^{ix})$

និង

$S_{\nu }(x)=\text{Im}{\chi }_{\nu }(e^{ix}).$

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ

ទ្រឹស្តីបទផលគុណ (Multiplication theorems) ត្រូវបានផ្តល់អោយដោយ Joseph Ludwig Raabe ក្នុងឆ្នាំ ១៨៥១

$B_n(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}{B}_n(x+\frac{k}{m})$

$E_n(mx)=m^n\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k{E}_n(x+\frac{k}{m})$ ទំព័រគំរូ:Spacesចំពោះ $m=1,3,\dots$

$E_n(mx)=\frac{-2}{n+1}{m}^n\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k{B}_{n+1}(x+\frac{k}{m})$ ទំព័រគំរូ:Spacesចំពោះ $m=2,4,\dots$

អាំងតេក្រាល

អាំងតេក្រាលមិនកំនត់

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_n(t)dt=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{E}_n(t)dt=\frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}$

អាំងតេក្រាលកំនត់

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(t)B_m(t)dt=(-1{)}^{n-1}\frac{m!n!}{(m+n)!}{B}_{n+m}\text{ for }m,n\ge 1$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{E}_n(t)E_m(t)dt=(-1{)}^{n}4(2^{m+n+2}-1)\frac{m!n!}{(m+n+2)!}{B}_{n+m+2}$