រូបមន្តតង់សង់កន្លះមុំ

រូបមន្ត

តាង

$t=\tan \left(\frac{\phi }{2}\right)=\frac{\sin (\phi )}{1+\cos (\phi )}=\frac{1-\cos (\phi )}{\sin (\phi )}$

នោះគេបាន

$\cos (\phi )=\frac{1-t^2}{1+t^2},$		$\sin (\phi )=\frac{2t}{1+t^2},$
$\sec (\phi )=\frac{1+t^2}{1-t^2},$		$\tan (\phi )=\frac{2t}{1-t^2},$
$\csc (\phi )=\frac{1+t^2}{2t},$		$\cot (\phi )=\frac{1-t^2}{2t},$

និង

$e^{i\phi }=\frac{1+it}{1-it},$

$e^{-i\phi }=\frac{1-it}{1+it}$

ដោយត្រឡប់រូបមន្តអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលចំពោះ t និងរក φ ជាអនុគមន៍នៃ t, គេបានទំនាក់ទំនងអាកតង់សង់ជាអនុគមន៍នៃលោការីតនេពែរដូចខាងក្រោម

${\tan }^{-1}t=\frac{1}{2i}\ln \frac{1+it}{1-it}$

បំរើបំរាស់ក្នុងការគណនា

តាង

$t=\tan \left(\frac{\phi }{2}\right)$

យើងបាន

• $dt={\sec }^2\left(\frac{\phi }{2}\right)\frac{d\phi }{2}$
• $\phi =2\arctan (t)$

យើងបាន

$d\phi =\frac{2dt}{1+t^2}$

សញ្ញាណអ៊ីពែបូលីក

ចំនុចមួយនៅផ្នែកខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូលកំនត់ដោយ (cosh θ, sinh θ)។ ដោយធ្វើចំណោលចំនុចទៅលើអ័ក្ស y ពីចំនុចកណ្តាល (−1, 0) កំនត់ដូចតទៅ៖

$t=\tanh \left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{\sinh (\theta )}{\cosh (\theta )+1}=\frac{\cosh (\theta )-1}{\sinh (\theta )}$

ជាមួយនឹងសញ្ញាណ

$\cosh (\theta )=\frac{1+t^2}{1-t^2}$		$\sinh (\theta )=\frac{2t}{1-t^2}$
$\text{sech}(\theta )=\frac{1-t^2}{1+t^2}$		$\tanh (\theta )=\frac{2t}{1+t^2}$
$\text{csch}(\theta )=\frac{1-t^2}{2t}$		$\coth (\theta )=\frac{1+t^2}{2t}$

និង

$e^{\theta }=\frac{1+t}{1-t}$

$e^{-\theta }=\frac{1-t}{1+t}$

រក θ ជាអនុគមន៍នៃ t នាំអោយ គេបានទំនាក់ទំនងរវាងអាកតង់សង់អ៊ីពែបូលនិងលោការីតនេពែរ៖

${\tanh }^{-1}t=\frac{1}{2}\ln \frac{1+t}{1-t}$

អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់

ដោយប្រៀបធៀបសញ្ញាណអ៊ីពែបូលីកទៅនឹងសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ គេសំគាល់ឃើញថាពួកវាជាប់ទាក់ទងនឹងអនុគមន៍នៃ t ដូចគ្នា។

$t=\tan \frac{\phi }{2}=\tanh \frac{\theta }{2}$

គេបាន

$\phi =2{\tan }^{-1}\tanh \frac{\theta }{2}\equiv \text{gd}(\theta )$

អនុគមន៍ $gd(\theta )$ ហៅថាអនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់។ អនុគមន៍ហ្គុឌែរម៉ាន់ផ្តល់ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់រវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនិងអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក តែមិនជាប់ទាក់ទងនឹងចំនួនកុំផ្លិចទេ។

តង់សង់មធ្យម

$\tan \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)=\frac{\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }=-\frac{\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }$

ដោយកំនត់ α ឬ β អោយស្មើសូន្យ។