បំលែងឡាប្លាស

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា បំលែងឡាប្លាស (Laplace transform) ជាបំលែងអាំងតេក្រាលដ៏ល្បីល្បាញមួយក្នុងចំនោមបំលែងជាច្រើន ដែលត្រួវបានគេប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយ។ វាត្រូវបានគេប្រើប្រាស់​ជាទូទៅដើម្បីធ្វើអោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា​ទៅជាសមីការពិជគណិត​ដែលងាយៗ​ដើម្បីសំរួល​ក្នុងដោះស្រាយ។ បំលែងឡាប្លាសត្រូវបានគេប្រើក្នុងការអនវត្តន៍សំខាន់ៗជាច្រើនក្នុង​គណិតវិទ្យា អុបទិក វិស្វកម្មអគិ្គសនី control engineering , signal processing និងួទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ក្នងគណិតវិទ្យា ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និង សមីការអាំងតេក្រាល។

ប្រវត្តិ

រូបភាព​លោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស​ក្នុងឆ្នាំ១៨៤២

បំលែងឡាប្លាសត្រូវដាក់ឈ្មោះដោយផ្តល់កិត្តិយល់ដល់គណិតវិទូ និង តារាវិទូជនជាតិបារាំងគឺលោក ព្យែរ ស៊ីម៉ុង ឡាប្លាស (Pierre-Simon Laplace) ដែលបានប្រើប្រាស់​បំលែងនេះក្នុងកិច្ចការ​របស់គាត់ចំពោះទ្រឹស្តីបទប្រូបាប។

ពីឆ្នាំ១៧៤៤ លេអុណាដ អឺលែរ (Leonhard Euler) បានធ្វើការសង្កេតទៅលើអាំងតេក្រាលដែលមានទំរង់៖

$z=\int X(x)e^{ax}dx$ និង $z=\int X(x)x^{A}dx$

និយមន័យ

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ f(t) ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត t ≥ 0 គឺជាអនុគមន៍ F(s) កំនត់ដោយ៖

$F(s)=ℒ\{f(t)\}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

ដែល $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$ ត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលឡាប្លាស។

រូបមន្តគ្រឹះ

អនុគមន៍ដើម f(t)	បំលែងឡាប្លាស F(s)
$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
$f(at)$	$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a});a>0$
$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$
$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$
$t^{k}f(t)$	$(-1{)}^k{F}^{(k)}(s)$
$f*g$	$F(s)G(s);ℒ[g(t)]=G(s)$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$e^{at}t$	$\frac{1}{(s-a{)}^2}$
$\sin \omega t$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$
$\cos \omega t$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
$\sinh \omega$	$\frac{\omega }{s^2-{\omega }^2}$
$\cosh \omega t$	$\frac{s}{s^2-{\omega }^2}$
$t\sin \omega t$	$\frac{2\omega s}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$
$t\cos \omega t$	$\frac{s^2-{\omega }^2}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$
$e^{at}\sin \omega t$	$\frac{\omega }{(s-a{)}^2+{\omega }^2}$
$e^{at}\cos \omega t$	$\frac{(s-a)}{(s-a{)}^2+{\omega }^2}$

លក្ខណៈនិងទ្រឹស្តីបទ

គេមានអនុគមន៍ f(t) , g(t) និងបំលែងឡាប្លាសរបស់វារៀងគ្នា F(s) ,G(s):

$f(t)={ℒ}^{-1}\{F(s)\},g(t)={ℒ}^{-1}\{G(s)\}$

គេបានតារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាសដូចខាងក្រោម

តារាងលក្ខណៈនៃបំលែងឡាប្លាស

	អនុគមន៍	បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍	សំគាល់​​​​​​​
លីនែអ៊ែរ	$af(t)+bg(t)$	$aF(s)+bG(s)$	អាចទទួលបានដោយប្រើក្បូនគោលនៃអាំងតេក្រាល
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$tf(t)$	$-F^{\prime }(s)$
ឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រេកង់	$t^{n}f(t)$	$(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$	ទំរង់ទូទៅ
ដេរីវេ	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0^{-})$	ទទួលបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក
ដេរីវេទី២	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f^{\prime }(0^{-})$
ដេរីវេទូទៅ	$f^{(n)}(t)$	$s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$
អាំងតេក្រាលប្រេកង់	$\frac{f(t)}{t}$	$\underset{s}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$
អាំងតេក្រាល	$\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau =u(t)*f(t)$	$\frac{1}{s}F(s)$	$u(t)$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ (Heaviside step function)។
Scaling	$f(at)$	$\frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)$
	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$	$u(t)$ ជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ
	$(f*g)(t)$	$F(s)\cdot G(s)$
អនុគមន៍ខួប	$f(t)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$	$f(t)$ ជាអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T ដែល$f(t)=f(t+T),\mathrm{\forall }t\ge 0$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃដើម:

$f(0^{+})=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }sF(s)$

• ទ្រឹស្តីបទតំលៃចុងបំផុត:

$f(\mathrm{\infty })=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$,ប្រសិនបើគ្រប់ប៉ូលនៃ $sF(s)$ គឺស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ដៃខាងឆ្វេង។

លក្ខណៈលីនេអ៊ែរ

$ℒ\{af+bg\}=aℒ\left\{f\right\}+bℒ\left\{g\right\}$

ដេរីវេ

$ℒ\{f^{\prime }\}=pℒ\{f\}-f(0+)$

$ℒ\{f^{″}\}=p^2ℒ\{f\}-pf(0+)-f^{\prime }(0+)$

$ℒ\left\{f^{(n)}\right\}=p^nℒ\{f\}-p^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

$ℒ\{tf(t)\}=-F^{\prime }(p)$

$ℒ\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$

រូបមន្តទី៥អាចត្រូវបានបង្ហាញលក្ខណៈ

ចេញពីនិយមន័យនៃ $F(\sigma )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt{\mid }_{p=\sigma }$

និង :$\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\sigma t}f(t)dtd\sigma$

$⟹\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt\cdot \underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\sigma t}d\sigma$

ដោយការគណនាអាំងតេក្រាល

$\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)dt\cdot (\frac{1}{t}{e}^{-pt})$

ដែលជាបំលែងនៃ $\frac{f(t)}{t}$ ដូច្នេះ $ℒ\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}$

ដូច្នេះ :$ℒ\left\{\frac{f(t)}{t}\right\}=\underset{p}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(\sigma )d\sigma$

អាំងតេក្រាល

$ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}=\frac{1}{p}ℒ\{f\}$

$ℒ\{\underset{a}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}=\frac{1}{p}ℒ\{f\}+\frac{1}{p}\underset{a}{\overset{0}{\int }}f(\tau )d\tau$

តំលៃចុងក្រោយ

$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(t)=\underset{p\to 0}{\lim }pF(p)$

តំលែដើម

$\underset{t\to 0+}{\lim }f(t)=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }pF(p)$

Convolution

$ℒ\{f*g\}=ℒ\{f\}ℒ\{g\}$

បំលែងឡាប្លាសនៃអនុគមន៍ខួបដែលមានខួប T

$ℒ\{f\}=\frac{1}{1-e^{-Tp}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt$

• គេអាចបង្ហាញរូបមន្តនៃលក្ខណៈដូចតទៅ៖

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u}+\underset{T}{\overset{2T}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+T}\underset{2T}{\overset{3T}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt{\mid }_{t=u+2T}+...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pt}f(u)du+\underset{T}{\overset{2T}{\int }}{e}^{-p(u+T)}f(u+T)du+\underset{2T}{\overset{3T}{\int }}{e}^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pu}f(u)dT+...$

គេផ្តុំតួរនីមួយៗ:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pT}f(T)du{\mid }_{u=t}$

ដូចនេះ $ℒ\{f\}=\frac{1}{1-e^{-Tp}}\underset{0}{\overset{T}{\int }}{e}^{-pt}f(t)dt$

តារាងរូបមន្តសង្ខេបបំលែងឡាប្លាស

តារាងខាងក្រោមផ្តល់នូវរូបមន្តបំលែងឡាប្លាសទូទៅនៃអថេរមួយ។ ចំពោះនិយមន័យនិងសេចក្តីពន្យល់សូមមើលសំគាល់ផ្នែកខាងចុងនៃតារាង។

• បំលែងឡាប្លាសនៃផលបូកគឺជាផលបូកនៃបំលែងឡាប្លាសនៃតួរនិមួយៗ។

$ℒ\{f(t)+g(t)\}=ℒ\{f(t)\}+ℒ\{g(t)\}$

• បំលែងឡាប្លាសច្រើនដងនៃអនុគមន៍មួយគឺ​មានបំលែងឡាប្លាសជាចំនួនច្រើនដងនៃអនុគមន៍នោះ។

$ℒ\{af(t)\}=aℒ\{f(t)\}$

បំលែងឡាប្លាសតែឯងគឺពិតជាត្រឹមត្រូវនៅពែល t ជាចំនួនមិនអវិជ្ជមាន ដែលគ្រប់អនុគមន៍ដើមក្នុងតារាងគឺជាអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយជាច្រើន u(t) ។

ID	ឈ្មោះអនុគមន៍	អនុគមន៍ដើម $x(t)={ℒ}^{-1}\{X(s)\}$	បំលែងឡាប្លាស $X(s)=ℒ\{x(t)\}$	causal systems
1	ideal delay	$\delta (t-\tau )$	$e^{-\tau s}$
1a	unit impulse	$\delta (t)$	$1$	$\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}s$
2	delayed nth power with frequency shift	$\frac{(t-\tau {)}^n}{n!}{e}^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a	ស្វ័យគុណទី n ( ចំពោះចំនួនគត់ n )	$\frac{t^n}{n!}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.1	ស្វ័យគុណទី q (ចំនួនពិត q )	$\frac{t^q}{\mathrm{\Gamma }(q+1)}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^{q+1}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2a.2	អនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ	$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2b	delayed unit step	$u(t-\tau )$	$\frac{e^{-\tau s}}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2c	ramp	$t\cdot u(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
2d	nth power with frequency shift	$\frac{t^n}{n!}{e}^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha {)}^{n+1}}$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
2d.1	exponential decay	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	$\frac{1}{s+\alpha }$	$\text{Re}\{s\}>-\alpha$
3	exponential approach	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s(s+\alpha )}$	$\text{Re}\{s\}>0$
4	ស៊ីនុស	$\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
5	កូស៊ីនុស	$\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>0$
6	ស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក	$\sinh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{\alpha }{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
7	កូស៊ីនុសអ៊ីពែលីក	$\cosh (\alpha t)\cdot u(t)$	$\frac{s}{s^2-{\alpha }^2}$	$\text{Re}\{s\}>|\alpha |$
8	Exponentially-decaying sine wave	$e^{\alpha t}\sin (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{\omega }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
9	Exponentially-decaying cosine wave	$e^{\alpha t}\cos (\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{s-\alpha }{(s-\alpha {)}^2+{\omega }^2}$	$\text{Re}\{s\}>\alpha$
10	រឺសទីn	$\sqrt[n]{t}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{n})$	$\text{Re}\{s\}>0$
11	លោការីតធម្មជាតិ	$\ln \left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot u(t)$	$-\frac{t_0}{s}[\ln (t_{0}s)+\gamma ]$	$\text{Re}\{s\}>0$
12	Bessel function of the first kind, of order n	$J_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2+{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2+{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$ $(n>-1)$
13	Modified Bessel function of the first kind, of order n	$I_n(\omega t)\cdot u(t)$	$\frac{{\omega }^n{(s+\sqrt{s^2-{\omega }^2})}^{-n}}{\sqrt{s^2-{\omega }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>|\omega |$
14	Bessel function of the second kind, of order 0	$Y_0(\alpha t)\cdot u(t)$	$-\frac{2{\sinh }^{-1}(s/\alpha )}{\pi \sqrt{s^2+{\alpha }^2}}$	$\text{Re}\{s\}>0$
15	Modified Bessel function of the second kind, of order 0	$K_0(\alpha t)\cdot u(t)$
16	Error function	$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(t)\cdot u(t)$	$\frac{e^{s^2/4}(1-\mathrm{erf}(s/2))}{s}$	$\text{Re}\{s\}>0$
សំគាល់: $u(t)$ តំណាងអោយអនុគមន៍កាំជណ្តើរហេវីសាយ $\delta (t)$ តំណាងអោយ Dirac delta function $\mathrm{\Gamma }(z)$ តំណាងអោយហ្គាំម៉ា $\gamma$ ជាថេរអឺលែរម៉ាសឆេរ៉ូនី $t$ ជាចំនួនពិតតំណាងអោយពេល (time) $s$ ជា[[ចំនួនកុំផ្លិច angular frequency និង$\text{Re}\{s\}$ ជាផ្នែកពិត. $\alpha$, $\beta$, $\tau$, និង $\omega$ ចំនួនពិត $n$ ជាចំនួនគត់