អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា​ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ ឬអនុគមន៍ស៊ីក្លូមេទ្រីក គឺជាអនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ច្រាស់សំខាន់ៗត្រូវបានដាក់បញ្ចូលក្នុងតារាងខាងក្រោម។

ឈ្មោះ	កំនត់សំគាល់ទូទៅ	និយមន័យ	ដែនកំនត់នៃ x ចំពោះលទ្ធផលពិត	ចន្លោះនៃតំលៃគោលទូទៅ
អាកស៊ីនុស	y = arcsin(x)	x = sin(y)	ពី −1 ដល់ +1	−π/2 ≤ y ≤ π/2
អាកកូស៊ីនុស	y = arccos(x)	x = cos(y)	ពី −1 ដល់ +1	0 ≤ y ≤ π
អាកតង់សង់	y = arctan(x)	x = tan(y)	ទាំងអស់	−π/2 < y < π/2
អាកកូតង់សង់	y = arccot(x)	x = cot(y)	ទាំងអស់	0 < y < π
អាកសេកង់	y = arcsec(x)	x = sec(y)	ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞	0 ≤ y < π/2 ឬ π/2 < y ≤ π
អាកកូសេកង់	y = arccsc(x)	x = csc(y)	ពី −∞ ដល់ −1 ឬ ពី 1 ដល់ ∞	−π/2 ≤ y < 0 ឬ 0 < y ≤ π/2

ប្រសិនបើ x ជាចំនួនកុំផ្លិច នោះដែនកំនត់នៃ y អាចអនុវត្តបានតែចំពោះផ្នែកពិតប៉ុណ្ណោះ។

កំនត់សំគាល់ ${\sin }^{-1},{\cos }^{-1}$ ជាដើម ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ចំពោះ arcsin, arccos ជាដើម។ ប៉ន្តែការសន្មតនេះវាអាចធ្វើអោយមានការភាន់ច្រលំជាមួយ​កន្សោមមួយចំនួនដូចជា $si{n}^2(x)$ ។

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsin(x) និង f(x) = arccos(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arctan(x) និង f(x) = arccot(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

តំលៃគោលនៃ អនុគមន៍ f(x) = arcsec(x) និង f(x) = arccsc(x) នៅក្នុងប្លង់ដេកាត

ទំនាក់ទំនងក្នុងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

<math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>

<math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>

<math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math>

ចំពោះមុំផ្ទុយ

<math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>

<math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>

<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>

<math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>

<math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>

<math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math>

ចំពោះមុំចំរាស់:

<math>\arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x </math>

<math>\arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x </math>

<math>\arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ </math> ប្រសិនបើ <math>\ x > 0</math>

<math>\arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ </math> ប្រសិនបើ <math>\ x < 0</math>

<math>\arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ </math>

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\arcsin x& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arccos x& =\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arctan x& =\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x& =\frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\end{array}$

ចំពោះតែតំលៃនៃ $x$៖

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\end{array}$

ចំពោះដេរីវេធម្មតា៖ ប្រសិនបើ $\theta =\arcsin x$ យើងបាន៖

$\frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sin \theta }=\frac{1}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ជាកន្សោមអាំងតេក្រាល

$\begin{array}{cc}\arcsin x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,|x|\le 1\\ \arccos x& =\underset{x}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}dz,|x|\le 1\\ \arctan x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z^2+1}dz,\\ \mathrm{arccot}x& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z^2+1}dz,\\ \mathrm{arcsec}x& =\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,x\ge 1\\ \mathrm{arccsc}x& =\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}dz,x\ge 1\end{array}$

នៅពេលស្មើ 1 នោះអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំនត់កំនត់ ជាimproper integral ប៉ុន្តែវានៅតែអាចកំនត់បាន។

ស៊េរីអានន្ត

$\begin{array}{cc}\arcsin z& =z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)};|z|\le 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\arccos z& =\frac{\pi }{2}-\arcsin z\\ & =\frac{\pi }{2}-(z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)};|z|\le 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\arctan z& =z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1z\ne i,-i\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arccot}z& =\frac{\pi }{2}-\arctan z\\ & =\frac{\pi }{2}-(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1};|z|\le 1z\ne i,-i\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arcsec}z& =\arccos \left(z^{-1}\right)\\ & =\frac{\pi }{2}-(z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots )\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{(2n+1)};\left|z\right|\ge 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{arccsc}z& =\arcsin \left(z^{-1}\right)\\ & =z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{2n+1};\left|z\right|\ge 1\end{array}$

Leonhard Euler បានរកឃើញស៊េរីដែលមានភាពប្រសើរជាច្រើនបន្ថែមទៀតសំរាប់អាកតង់សង់ដូចខាងក្រោម៖

$\arctan x=\frac{x}{1+x^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{k=1}^n\frac{2k{x}^2}{(2k+1)(1+x^2)}.$

(សំគាល់៖ តួក្នុងផលបូកចំពោះ n= 0 គឺផលគុណទទេ ដែលស្មើ 1)

វាអាចសំដែងដោយ៖

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{2n}(n!{)}^2}{(2n+1)!}\frac{x^{2n+1}}{{(1+x^2)}^{n+1}}$

ប្រភាគបន្តបន្ទាប់ចំពោះអាកតង់សង់

ចំពោះភាពឆ្លាស់នៃស៊េរីស្វ័យគុណសំពោះអាកតង់សង់​គឺវាមានលក្ខណៈជាប្រភាគបន្តបន្ទាប់។

$\arctan (z)=\frac{z}{1+\frac{z^2}{3+\frac{4z^2}{5+\frac{9z^2}{7+\frac{16z^2}{9+\frac{25z^2}{\ddots }}}}}}$

វាពិតនីក្នុងបំណែកប្លង់កុំផ្លិច។ មានពីរបំណែកពី −i ដល់ចំនុចដែលមានតំលៃអានន្ត។ និងមួយបំណែកទៀតពី i ដល់ចំនុចត្រង់អានន្ត។ វាដំណើរការឥតខ្ចោះនៅចន្លោះពី −១ ដល់ ១ ។

អាំងតេក្រាលមិនកំនត់នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

ចំពោះតំលៃពិត និងតំលៃកុំផ្លិចនៃ x

$\begin{array}{cc}\int \arcsin xdx& =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\ \int \arccos xdx& =x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\ \int \arctan xdx& =x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\\ \int \mathrm{arccot}xdx& =x\mathrm{arccot}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\\ \int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln (x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}))+C\\ \int \mathrm{arccsc}xdx& =x\mathrm{arccsc}x+\ln (x(1+\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}))+C\end{array}$

ចំពោះតំលៃពិតនៃ x≥1៖

$\begin{array}{cc}\int \mathrm{arcsec}xdx& =x\mathrm{arcsec}x-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \mathrm{arccsc}xdx& =x\mathrm{arccsc}x+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\end{array}$

ទាំងអស់នេះអាចទាញបានដោយប្រើអាំងតេក្រាលដោយផ្នែក និងដេរីវេធម្មតា បង្ហាញដូចខាងលើe.

សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

ដោយប្រើ $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ តាង

$\begin{array}{cccc}u& =& \arcsin x& \mathrm{d}v=\mathrm{d}x\\ \mathrm{d}u& =& \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}& v=x\end{array}$

គេបាន

$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$

ដោយជំនួស $k=1-x^2$។ នោះ $\mathrm{d}k=-2x\mathrm{d}x$ និង

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}}=-\sqrt{k}$

ជំនួសត្រឡប់វិញ x គេបាន

$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}$

វិធីសាស្រ្តចំបងក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រច្រាស់

• ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកស៊ីនុស សូមប្រើ៖

$\arcsin x=\arctan \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

• ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកកូស៊ីនុស សូមប្រើ៖

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$

• ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៃអាកតង់សង់ចំពោះ x ក្បែរសូន្យ សូមប្រើវិធីសាស្រ្តគណនាអាកតង់សង់នៃប្រភាគបន្តបន្ទាប់ខាងលើ។ ដើម្បីគណនាអាកតងសង់ចំពោះតំលៃ x ផ្សេងៗទៀត សូមប្រើ៖

$\arctan x=2\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

• ដើម្បីគណនាអាកកូតង់សង់ សូមប្រើ៖

$\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}-\arctan x$

• ដើម្បីគណនាអាកសេកង់ សូមប្រើ៖

$\mathrm{arcsec}x=\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{x}$

• ដើម្បីគណនាអាកកូសេកង់ សូមប្រើ៖

$\mathrm{arccsc}x=\arcsin \frac{1}{x}$

ទំរង់លោការីត

អនុគមន៍ទាំងនេះអាចសំដែងជាទំរង់លោការីតដោយប្រើ លោការីតកុំផ្លិច។ នេះជាការពន្លាតដែនកំនត់របស់អនុគមន៍ទាំងនេះទៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិច។

$\begin{array}{ccc}\arcsin x& =-i\log (ix+\sqrt{1-x^2})& =\mathrm{arccsc}\frac{1}{x}\\ \arccos x& =-i\log (x+\sqrt{x^2-1})=\frac{\pi }{2}+i\log (ix+\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi }{2}-\arcsin x& =\mathrm{arcsec}\frac{1}{x}\\ \arctan x& =\frac{i}{2}(\log (1-ix)-\log (1+ix))& =\mathrm{arccot}\frac{1}{x}\\ \mathrm{arccot}x& =\frac{i}{2}(\log (1-\frac{i}{x})-\log (1+\frac{i}{x}))& =\arctan \frac{1}{x}\\ \mathrm{arcsec}x& =-i\log (\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}+\frac{1}{x})=i\log (\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x})+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccsc}x& =\arccos \frac{1}{x}\\ \mathrm{arccsc}x& =-i\log (\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x})& =\arcsin \frac{1}{x}\end{array}$

សំរាយបញ្ជាក់នៃទំនាក់ទំនងទាំងនេះ​ គឺធ្វើតាមរយៈពន្លាតវាក្នុង​ទំរង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃ​អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

សំរាយបញ្ជាក់ឧទាហរណ៍

$\arcsin x=\theta$

$\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}=x$   (និយមន័យអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃស៊ីនុស)

តាង

$k=e^{i\theta }.$

គេបាន

$\frac{k-\frac{1}{k}}{2i}=x$

$k^2-2ikx-1=0$   (ដំណោះស្រាយចំពោះ$k$)

$k=ix\pm \sqrt{1-x^2}=e^{i\theta }$   (យកផ្នែកខាងវិជ្ជមាន)

$\theta =\arcsin x=-i\log (ix+\sqrt{1-x^2})$  Q.E.D.

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច'

$\arcsin (z)$	$\arccos (z)$	$\arctan (z)$	$\mathrm{arccot}(z)$	$\mathrm{arcsec}(z)$	$\mathrm{arccsc}(z)$

រូបមន្តអាកតង់សង់បន្ថែម

$\arctan u+\arctan v=\arctan \left(\frac{u+v}{1-uv}\right)$

សំរាយបញ្ជាក់

ចាប់ផ្តើមពី

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

និងតាង

$u=\tan \alpha ,v=\tan \beta$

បំរើបំរាស់ក្នុងការអនុវត្តន៍

ត្រីកោណកែង

ត្រីកោណកែង

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ​មានសារៈសំខាន់នៅពេលគេចង់រករ​ង្វាស់មុំដែលនៅសល់ពីរផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណកែង ដែលគេស្គាល់រួចជាស្រេចនូវ​រង្វាស់ប្រវែងនៃត្រីកោណកែងនេះ។ ដោយប្រើអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

$\theta =\arcsin \left(\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}\right)$

សំគាល់៖ opposite = ជ្រុងឈម, hypotenuse = អ៊ីប៉ូតេនុស និង adjacent = ជ្រុងជាប់

ជាញឹកញាប់ អ៊ីប៉ូតេនុសជារង្វាស់ជ្រុងដែលគេមិនប្រាប់ និងចាំបាច់ត្រូវរកមុនពេលប្រើប្រាស់អាក់ស៊ីនុស ឬ អាកកូស៊ីនុស។ អ្នកអាចគណនាមុំនៃត្រីកោណដោយមិនចាំបាច់ដឹងប្រវែងអ៊ីប៉ូតេនុសក៏បាន។

$\theta =\arctan \left(\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}\right)$