អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ

អាំងតេក្រាលឌីរិចឡេ (ទំព័រគំរូ:Lang-fr) គឺជាអាំងតេក្រាលនៃ​អនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់​លើកន្លះបន្ទាត់នៃអ័ក្សពិតផ្នែកវិជ្ជមានកំនត់ដោយ

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}dx=\frac{\pi }{2}$

គេអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើអាំងតេក្រាលហ្វួរា (Fourier integral) ។ វាក៏អាចត្រូវបានគេគណនាយ៉ាងងាយដោយប្រើការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែល (ការធ្វើដេរីវេ) ក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

សំរាយបញ្ជាក់ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល

ដំបូងយើងនឹងសរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញជាអនុគមន៍នៃចំនួនថេរ $\alpha$ និង $\omega$ ។

តាង $f(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega$

បន្ទាប់មកយើងរក $f(0)$

ដោយការធ្វើឌីផេរ៉ង់ស្យែលតាម $\alpha$ យើងបាន

$\frac{df}{d\alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega$

ដោយអនុវត្ត​ក្បួនអាំងតេក្រាលឡេបនីស (Leibniz Integral Rule) យើងបាន

$\frac{\partial }{\partial \alpha }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\partial }{\partial \alpha }{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \omega }\sin \omega d\omega$

អាំងតេក្រាលអាចគណនាបានយ៉ាងងាយដោយប្រើរូបមន្តអយល័រ (Euler's formula)

$e^{i\omega }=\cos \omega +i\sin \omega$

នោះយើងបាន

$\mathrm{\Im }{e}^{i\omega }=\sin \omega$ ដែល $\mathrm{\Im }$ តំណាងអោយផ្នែកនិម្មិតនៃចំនួនកុំផ្លិច​។

សរសេរអាំងតេក្រាលឡើងវិញយើងបាន

$-\mathrm{\Im }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \omega }{e}^{i\omega }d\omega =\mathrm{\Im }\frac{1}{-\alpha +i}=\mathrm{\Im }\frac{-\alpha -i}{{\alpha }^2+1}=\frac{-1}{{\alpha }^2+1}$

ហេតុនេះ

$\frac{df}{d\alpha }=\frac{-1}{{\alpha }^2+1}$

ធ្វើអាំងតេក្រាលអង្គទាំងសងខាងពី $0$ ទៅ $\mathrm{\infty }$ យើងបាន

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{df}{d\alpha }d\alpha =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{-1}{{\alpha }^2+1}d\alpha$

$f(\mathrm{\infty })-f(0)=-\arctan \mathrm{\infty }+\arctan 0$

$f(0)=\frac{\pi }{2}+f(\mathrm{\infty })$

ចំនាំថា $f(\mathrm{\infty })=\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\alpha \omega }\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega =0$

ហេតុនេះ

$f(0)=\frac{\pi }{2}$

ដូចនេះ

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin \omega }{\omega }d\omega =\frac{\pi }{2}$