ត្រីកោណមាត្រកុំផ្លិច

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

ក្នុងចំនួនកុំផ្លិច រូបមន្តអឺលែរចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រអាចកំនត់

• $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\sinh iz}{i}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}$

• $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cosh iz=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k)!}$

• $\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}=-i\frac{\sinh iz}{\cosh iz}=-i\tanh iz=-i\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}$

ដូចគ្នាចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់

• $\arcsin z=-i\ln (iz+\sqrt{1-z^2})$
• $\arccos z=-i\ln (z+\sqrt{z^2-1})$
• $\arctan z=\frac{i}{2}(\ln (1-iz)-\ln (1+iz))$

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រកុំផ្លិច

ខាងក្រោមនេះជាបំណកស្រាយនៃរូបមន្តសំរាប់គណនាកូស៊ីនុសនៃចំនួនកុំផ្លិច

$af+ibf=\cos (a+i.b)=\frac{e^{i(a+i.b)}+e^{-i(a+i.b)}}{2}=\frac{e^{i.a-b}+e^{-i.a+b}}{2}=\frac{e^{-b}.e^{i.a}+e^b.e^{-i.a}}{2}=\frac{e^{-b}}{2}.e^{i.a}+\frac{e^{-b}}{2}.e^{-i.a}$

$\Rightarrow r_1=\frac{e^{-b}}{2}$ទំព័រគំរូ:Spaces $t_1=a$ ទំព័រគំរូ:Spaces$\Rightarrow r_2=\frac{e^b}{2}$ទំព័រគំរូ:Spaces$t_2=-a$

$\Rightarrow a_1=r_1.\cos t_1=\frac{e^{-b}}{2}.\cos a$ទំព័រគំរូ:Spaces$b_1=r_1.\sin t_1=\frac{e^{-b}}{2}.\sin a$

$\Rightarrow a_2=r_2.\cos t_2=\frac{e^b}{2}.\cos (-a)=\frac{e^b}{2}.\cos a$ទំព័រគំរូ:Spaces$b_2=r_2.\sin t_2=\frac{e^b}{2}.\sin (-a)=-\frac{e^b}{2}.\sin a$

$\Rightarrow af=a_1+a_2=\frac{e^{-b}}{2}.\cos a+\frac{e^b}{2}.\cos a=\cos a.[\frac{e^{-b}}{2}+\frac{e^b}{2}]=\cos a.[\frac{e^b+e^{-b}}{2}]=\cos a.\cosh b$

$=>bf=b_1+b_2=\frac{e^{-b}}{2}.\sin a-\frac{e^b}{2}.\sin a=\sin a.[\frac{e^{-b}}{2}-\frac{e^b}{2}]=\sin a.[\frac{-1.(e^b-e^{-b})}{2}]=-\sin a.\sinh b$

$\Rightarrow \cos (a+i.b)=\cos (a).\cosh (b)-i.\sin (a).\sinh (b)$

ចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រផ្សេងទៀត ក៏ដូចគ្នាដែរ។

$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}$        $\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}$

សូមមើលផងដែរចំពោះសំរាយបញ្ជាក់នៃកូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

$af+ibf=\cosh (a+i.b)=\frac{e^{a+i.b}+e^{-(a+i.b)}}{2}=\frac{e^{a+i.b}+e^{-a-i.b}}{2}=\frac{e^a.e^{i.b}+e^{-a}.e^{-i.b}}{2}=\frac{e^a}{2}.e^{i.b}+\frac{e^{-a}}{2}.e^{-i.b}$

$=>r_1=\frac{e^a}{2}$ទំព័រគំរូ:Spaces$t_1=b$ទំព័រគំរូ:Spaces$=>r_2=\frac{e^{-a}}{2}$ទំព័រគំរូ:Spaces$t_2=-b$

$=>a_1=r_1.\cos t_1=\frac{e^a}{2}.\cos b$ទំព័រគំរូ:Spaces$b_1=r_1.\sin t_1=\frac{e^a}{2}.\sin b$

$=>a_2=r_2.\cos t_2=\frac{e^{-a}}{2}.\cos (-b)=\frac{e^{-a}}{2}.\cos b$ទំព័រគំរូ:Spaces$b_2=r_2.\sin t_2=\frac{e^{-a}}{2}.\sin (-b)=-\frac{e^{-a}}{2}.\sin b$

$=>af=a_1+a_2=\frac{e^a}{2}.\cos b+\frac{e^{-a}}{2}.\cos b=[\frac{e^a}{2}+\frac{e^{-a}}{2}].\cos b=[\frac{e^a+e^{-a}}{2}].\cos b=\cosh a.\cos b$

$=>bf=b_1+b_2=\frac{e^a}{2}.\sin b-\frac{e^{-a}}{2}.\sin b=[\frac{e^a}{2}-\frac{e^{-a}}{2}].\sin b=[\frac{e^a-e^{-a}}{2}].\sin b=\sinh a.\sin b$

$=>\cosh (a+i.b)=\cosh (a).\cos (b)-i.\sinh (a).\sin (b)$

ដូចគ្នាដែរចំពោះអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកផ្សេងទៀត

$\tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z}$        $\coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z}$

សូមមើលផងដែរ

• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ចំនួនកុំផ្លិច