ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

នៅក្នុងត្រីកោណមាត្រ ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (ឬ​​ច្បាប់ស៊ីនុស ឬ​​រូបមន្តស៊ីនុស) ជា​ទ្រឹស្តីបទ​​សិក្សា​​អំពី​​ត្រីកោណ​នៅ​ក្នុង​ប្លង់។

ទ្រឹស្តីបទ

ឯកសារ:ត្រីកោណABCនិងរង្វង់ចារិកក្រៅកាំR.png

ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b, c, ក្រលាផ្ទៃ S រង្វង់ចារឹកក្រៅកាំ R និងមុំ A, B, C

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានជ្រុង a, b និង c និង A, B និង C ជាមុំឈមនៃជ្រុងទាំងនេះ(∠A=A, ∠B=B, ∠C=C) និង$R$ ជាកាំនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ ABC នោះគេបាន​​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​​បង្ហាញដូចខាងក្រោម

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

ទ្រឹស្តីបទ​​នេះ​​ត្រូវ​បាន​គេ​​ប្រើប្រាស់​​ដើម្បី​​គណនា​​ជ្រុង​​នៃ​ត្រីកោណ​ដែលនៅសល់ ប្រសិនបើគេស្គាល់តំលៃនៃមុំ២ និង​ជ្រុង​មួយ។ វា​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​បាន​ដែល នៅ​គេ​ស្គាល់​ជ្រុង​ពីរ និង​មុំ​មួយ។

$\begin{array}{cc}2R=\frac{abc}{2S}& =\frac{abc}{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\\ & =\frac{2abc}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}}\end{array}$

ដែល $S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ និង $p$ ជាកន្លះបរិមាត្រ។

$p=\frac{a+b+c}{2}$

សំរាយបញ្ជាក់

△ABC កំពស់ h គូសចេញពីកំពូល C

• ទំព័រគំរូ:ខៀវ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

គេមានត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំ A B C បង្ហាញដូចរូបខាងស្តាំ។ h ជា​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល C មកជ្រុង AB ។ តាម​និយមន័យ​វា​ចែក​ត្រីកោណ ABC ជា​ពីរ​ត្រីកោណកែង​។ គេ​បាន

$\sin A=\frac{h}{b}$   និង  $\sin B=\frac{h}{a}$

$\Rightarrow h=b(\sin A)=a(\sin B)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}(1)$

ដូចគ្នា​ដែរ​ចំពោះ​កំពស់​គូស​ចេញ​ពី​កំពូល A មក​ជ្រុង BC នៃ​ត្រីកោណ គេបាន

$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}(2)$

$(1)$ និង $(2)$ យើង​បាន

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

---

• ទំព័រគំរូ:ខៀវ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

គេមានត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R និង $BC=a,\mathrm{\angle }A=A$

(ក) - ករណី $0<\mathrm{\angle }A<\frac{\pi }{2}$ (មុំ A ជាមុំស្រួច)

ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A=D).png

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

BD ជា​អង្កត់ផ្ចិត​នៃរង្វង់ចារឹកក្រៅ​ត្រីកោណ នោះ​ចំនុច D គឺ​ស្ថិត​នៅ​លើ​រង្វង់ ។

នាំអោយ $BD=2R$ (R ជាកាំរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ)

ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​មុំចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

$\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }D$ (មុំ A ស្មើមុំ D)

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ នោះគេបាន

$\mathrm{B}\mathrm{D}=2R,$ និង $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}=\frac{\pi }{2}$

តាង $\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{D}\mathrm{C}=\mathrm{\angle }D=D$ គេបាន

$\sin D=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}\Rightarrow \frac{a}{\sin D}=2R$

ដោយមុំ D = A គេបាន $\frac{a}{\sin A}=2R$

តាមរយៈវិធីដូចគ្នាចំពោះផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

$\frac{b}{\sin B}=2R$

$\frac{c}{\sin C}=2R$

ហេតុនេះ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

(ខ) - ករណី $\mathrm{\angle }A=\frac{\pi }{2}$ (មុំ A ជាមុំកែង)

ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A= ៩០ដឺក្រេ).png

ករណីមុំ A = ៩០^០

មុំ A ជាមុំកែង គេបាន BC ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

$BC=2R=a$

$\Rightarrow \sin A=\sin \frac{\pi }{2}=1$

$\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{2R}{1}=2R(i)$

ABC ជាត្រីកោណកែង គេបាន

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}=\frac{b}{2R}\frac{b}{\sin B}=2R(ii)$

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}=\frac{c}{2R}\frac{c}{\sin C}=2R(iii)$

តាម$(i)(ii)$ និង $(iii)$ យើងបានទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

(គ) - ករណី $\frac{\pi }{2}<\mathrm{\angle }A<\pi$ទំព័រគំរូ:Spaces (មុំ A ជាមុំទាល)

ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស (មុំ A ជាមុំទាល).png

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

ករណី BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ គេបានចំនុច D ស្ថិតនៅលើរង្វង់។ យោង​តាម​លក្ខណៈ​​រង្វង់ចារឹកក្រៅចតុកោណ (=ចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់)​​គេបាន

$A+D=\pi D=\pi -A$ (ដែល $A=\mathrm{\angle }A,D=\mathrm{\angle }D$ )

$\Rightarrow \sin D=\sin (\pi -A)=\sin A$

BD ជាអង្កត់ផ្ចិតនៃរង្វង់ចារឹកក្រៅត្រីកោណ

$\Rightarrow BD=2R$

BCD ជាត្រីកោណកែង​ត្រង់ C គេបាន

$\sin A=\sin D=\frac{BC}{BD}=\frac{a}{2R}\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=2R$

ធ្វើដូចគ្នាដែរចំពោះមុំផ្សេងទៀត (មុំ B និងមុំ C) គេបាន

$\frac{b}{\sin B}=2R$

$\frac{c}{\sin C}=2R$

ហេតុនេះ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

សនិដ្ឋាន: ដូចនេះគេបាន​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ ផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណីទាំងបីខាងលើ។

បំណក​ស្រាយ​ទ្រឹស្តីបទ​ស៊ីនុស​ដោយប្រើ​ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

$\begin{array}{cc}a& =BH+HC\\ & =AB\cdot \cos B+AC\cdot \cos C\\ & =c\cos B+b\cos C\\ \Rightarrow b& =a\cos C+c\cos A\\ \Rightarrow c& =a\cos B+b\cos A\end{array}$

ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

$\begin{array}{cc}{a}^2& =b^2+c^2+2bc\cos (B+C)\\ & =b^2+c^2+2bc\cos B\cos C-2bc\sin B\sin C\\ & =(b\cos C+c\cos B{)}^2+(b\sin C-c\sin B{)}^2\\ & =a^2+(b\sin C-c\sin B{)}^2\\ & \Rightarrow b\sin C-c\sin B=0\\ & ⟺\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}(i)\end{array}$

ដូចគ្នាដែរចំពោះ

$b^2=a^2+c^2+2ac\cos (A+C)\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}(ii)$

$c^2=a^2+b^2+2ab\cos (A+B)\Rightarrow \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}(iii)$

ដូចនេះ តាម $(i),(ii)$ និង $(iii)$ គេបាន

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

អនុវត្ត

គេមាន​ត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a, b​, c​ ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។ ស្រាយបំភ្លឺថាៈ

$a\cos A+b\cos B+c\cos C=\frac{2S}{R}$

ដែល $S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

ដំណោះស្រាយ

តាមទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសនៃត្រីកោណ ABC ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow \{\begin{array}{c}a=2RsinA\\ b=2RsinB\\ c=2RsinC\end{array}$

យើងបាន:

$\begin{array}{cc}acosA+bcosB+ccosC& =2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC\\ & =R(2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC)\\ & =R(2sinAcosA+sin2B+sin2C)\\ & =R[2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B-C)]\\ & =R[2sinAcosA+2sinAcos(B-C)]\\ & (B+C=\pi -A\Rightarrow sin(B+C)=sin(\pi -A)=sinA)\\ & =2RsinA[cos(B-C)-cos(B+C)]\\ & (A=\pi -(B+C)\Rightarrow cosA=cos[\pi -(B+C)]=-cos(B+C)\\ & =2RsinA\cdot 2sinBsinC\\ & =4RsinA\cdot sinBsinC\\ & =4R\cdot \frac{a}{2R}\cdot \frac{b}{2R}\cdot \frac{c}{2R}\\ & =\frac{abc}{2R^2}(1)\\ \end{array}$

$S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R $\Rightarrow S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow abc=4RS$

ជំនួស abc ក្នុង $(1)$ យើងបាន

$acosA+bcosB+ccosC=\frac{4RS}{2R^2}=\frac{2S}{R}$

ដូចនេះ

$acosA+bcosB+ccosC=\frac{2S}{R}$

ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុសក្នុងត្រីកោណមាត្រស្វ៊ែរ

ត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC

គេមានត្រីកោណស្វ៊ែរ ABC ស្ថិតនៅលើស្វ៊ែរដែលមានផ្ចិត O កាំ $\rho$ ដូចក្នុងរូបខាងស្តាំ នោះ​ទ្រឹស្តីបទស៊ីនុស​អាចសរសេរ

$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}=\frac{6V_{\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}}{{\rho }^3\sin a\sin b\sin c}$

ដែល

• $\alpha =\mathrm{\angle }A$
• $\beta =\mathrm{\angle }B$
• $\gamma =\mathrm{\angle }C$
• $V_{\mathrm{O}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}$ ជាមាឌនៃតេត្រាអែត OABC ។

សូមមើលផងដែរ

• ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស
• អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ
• ទ្រឹស្តីបទតង់សង់