អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

ក្រាបនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣។ រឺសជាចំនុចប្រសព្វរវាងអ័ក្សអាប់ស៊ីស $(x^{\prime }0x)$ និងខ្សែកោង (y = 0)។ វាមានចំនុចរបត់២។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ (Cubic function) ជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

ដែល a ជាចំនួនមិនសូន្យ។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២។ អាំងត្រេក្រាលនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣ជាអនុគមន៍​ដឺក្រេ​ទី​បួន​។

ប្រសិនបើអ្នកអោយ $f(x)=0$ នោះអ្នកនឹងទទួលបានទំរង់សមីការដឺក្រេទី៣

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

ដែល

$a\ne 0$

(ប្រសិនបើ a = 0 នោះគេវានឹងក្លាយទៅជាសមីការដឺក្រេទី២)

ឫសនៃអនុគមន៍ដឺក្រេទី៣

លក្ខណៈនៃឫស

យោង​តាម​ទ្រឹស្ដី​បទតម្លៃ​កណ្ដាល គ្រប់សមីការដឺក្រេទី៣ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត មានឫសយ៉ាងហោចណាស់មួយជាចំនួនពិត។ យើងអាចបែងចែកតាមរយៈឌីស្គ្រីមីណង់(Discriminant)

$\mathrm{\Delta }=-4b^{3}d+b^2{c}^2-4a{c}^3+18abcd-27a^2{d}^2.$

ករណីខាងក្រោមត្រូវការពិចារណា

• បើ Δ > 0 នោះសមីការមានឫស៣ជាចំនួនពិតផ្សេងគ្នា។
• បើ Δ < 0 នោះសមីការមានឫស១ជាចំនួនពិត និង មានឫស២ផ្សេងទៀតជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់។
• បើ Δ = 0 នោះសមីការមានឫសដូចគ្នាយ៉ាងហោចណាស់២។

វិធីសាស្រ្តកាដាណូ(Cardano)

ចំលើទាំងនេះអាចត្រូវគេរកតាម វិធីសាស្រ្ត Scipione del Ferro និង Tartaglia ដែលបោះពុម្ភនៅឆ្នាំ១៥៤៥។

យើងដាក់សមីការស្តង់ដាជារាង :$x^3+a{x}^2+bx+c=0(1)$

ជំនួស$x=t-a/3$​ ហើយលុបបំបាត់តួដែលមានដឺក្រេទី២​ យើងបាន

$t^3+pt+q=0,$ $p=b-\frac{a^2}{3}$ ហើយ $q=c+\frac{2a^3-9ab}{27}(2)$

តាម Thomas Harriot(១៥៦០-១៦២១): ដោយជំនួស $t=y-\frac{p}{3y}$ ហើយគុណអង្គទាំង២នឹង $y^3$ រួចធ្វើការលុបបំបាត់ផ្នែកខ្លះ នោះ $y^6+q{y}^3-\frac{p^3}{27}=0$ ។ ការព៌ណនាខាងក្រោមគឺជាប្រភពដើមនៃCardano និង Tartaglia ដែលមាននៅក្នុងសៀវភៅរហូតដល់សព្វថ្ងៃ។

ឧបមាថា យើងអាចរកចំនួន $u$ និង $v$ ដែល

$-u^3-v^3=q$ ហើយ $-uv=\frac{p}{3}(3)$

ចំលើយចំពោះសមីការគឺអោយដោយ

$t=v+u$

ដែលអាចត្រូវគេពិនិត្យតាមរយះ ជំនួសតំលៃនេះដោយត្រង់ចំពោះ $t$ ក្នុង (2)​ ។

$(v+u{)}^3-3uv(v+u)+(-u^3-v^3)=0$

ប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានដោះស្រាយ ដោយដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ v

$v=-\frac{p}{3u}$

ដោយជំនួស v ទៅក្នុងសមីការដំបូង ក្នុង(3)

$-u^3+\frac{p^3}{27u^3}=q$

ដោយប្តូរទីតាំងនៃ q ហើយគុណនឹង 27u³ នោះ

$27u^6+27q{u}^3-p^3=0$

នេះជាសមីការដឺក្រេទី២ ចំពោះ u³។ បើយើងដោះស្រាយសមីការនេះ គេឃើញថា

$u^3=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}(4)$

ចូរចាំថា មាន៦របៀបក្នុងការគណនា u ជាមួយ (4) ។ វាមានចំលើយ២ចំពោះឫសការេ($\pm$) ហើយ ចំលើយជាចំនួនកុំផ្លិច៣ ចំពោះឫសគូប ។ គុណចំលើយគោលនឹង $\frac{-1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$ ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សញ្ញានៃឫសការេ(បូក ឬ ដក) មិនប៉ះពាល់ដល់ចំលើយចុងក្រោយទេ។ ដំបូង បើ p = 0 នោះ ឫសមួយអាចត្រូវជ្រើសរើសឫសការេអវិជ្ជមាន ដែលនាំអោយ u មិនស្មើសូន្យ ឧទាហរណ៍​ $u=-\sqrt[3]{q}$ ។ ទី២ បើ p = q = 0 នោះយើងមានឫសពិត៣ x = −a/3 ។

សង្ខេប ចំពោះសមីការដឺក្រេទី៣​

$x^3+a{x}^2+bx+c=0$

ចំលើយ ចំពោះx ផ្តល់អោយ

$x=-\frac{p}{3u}+u-\frac{a}{3}$

ដែល

$p=b-\frac{a^2}{3}$

$q=c+\frac{2a^3-9ab}{27}$

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

បើទោះបីជាវិធីសាស្រ្តនេះធម្មតានិងឥតខ្ចោះក៏ដោយ វាខុសចំពោះឫសពិត៣ ឧទាហរណ៍ ពេល  :$D<0,D={\left(\frac{q}{2}\right)}^2+{\left(\frac{p}{3}\right)}^3$

ចំពោះករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទផ្សេងទៀតត្រូវគេយកមកប្រើ ។

តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះអាចប្រើបានចំពោះករណីដែល D < 0 ហើយគ្រប់ករណីផ្សេងទៀតទាំងអស់ បើយើងប្រើឫសគូប៣ នៃ u និង v​ ខាងលើ ទោះបីជា ចំនួនពិត ឬ កុំផ្លិច។ វាជាប្រវត្តិដ៏មានសារៈសំខាន់ព្រោះការរកចំលើយតាមរបៀបនេះ​ ធ្វើអោយគេទទួលយកចំនួនកុំផ្លិច ។ ប៉ុន្តែជាសំណាងអាក្រក់ អ្វីៗគឺសាំញ៉ាំបន្តិច។

យើងដឹងថា $u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$ ឬ $-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

តែដោយ $u$ និង $v$ ត្រូវតែផ្ទៀងផ្ទាត់ $-u^3-v^3=q$ ហើយ $-uv=\frac{p}{3}$

នោះគេអាចបង្ហាញថាបើ

$u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}then{v}^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

ឬផ្ទុយទៅវិញ វាមិនមានបញ្ហាក្នុងការជ្រើសរើសវិធីសាស្រ្តទេ។

ដោយសរសេរឫសទាំង៣នោះចេញគេបាន

$u=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ \end{array}andv=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ \end{array}$

ចំណាំ $t=u+v$ យើងទទួលយកតំលៃដែលអាចតែ៣ប៉ុណ្ណោះសំរាប់ t ពីព្រោះការបូកផ្សំគ្នា៣នៃ u និង v អាចទៅរួចបើ$-uv=\frac{p}{3}$ គឺត្រូវតែរក្សាសុពលភាពក្នុងនាមជា - ដូចនេះ

$t=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}\\ \end{array}$

ហើយដោយ

$x=t-\frac{a}{3}$

តំលៃដែលអាច៣នៃ x គឺ

$x=\{\begin{array}{cc}& \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a}{3}\\ & (-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a}{3}\\ & (-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}-\frac{a}{3}\\ \end{array}$

ហើយសមីការដឺក្រេទី៣ត្រូវគេដោះស្រាយ តាមរយះ $D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន ឬ សូន្យ

បើ D វិជ្ជមាន នោះវាមានចំនួនពិតមួយ និងចំនូនកុំផ្លិចពីរជាឫស ។

បើ D អវិជ្ជមាន នោះវាមានឫស៣ជាចំនួនពិត។

បើ D = 0 នោះវាមាន ឫសមួយជាចំនួនពិត(ឫសដូចគ្នាទាំងបី) ឬ ឫសពីរជាចំនួនពិត(ឫសមួយ​ ឬ ឫសឌុប)។