សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប៊ែរនូយី

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមានទំរង់

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលប៊ែនូរយី (Bernoulli differential equation) ឬ សមីការប៊ែរនូយី ដែល $n\ne 1;0$ ។

ដោយចែកអង្គទាំងពីរនៃសមីការនឹង $y^n$ គេបាន

$\frac{y^{\prime }}{y^n}+\frac{P(x)}{y^{n-1}}=Q(x)$

ដោយការប្តូរអញ្ញត្តិ​ដើម្បីបំលែង​សមីការទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនែអ៊ែរលំដាប់ទី១។

តាង $u=\frac{1}{y^{n-1}}\Rightarrow u^{\prime }=\frac{(1-n)}{y^n}{y}^{\prime }$

សមីការក្លាយជា

$\frac{u^{\prime }}{1-n}+P(x)u=Q(x)$

ឬ

$u^{\prime }+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

គេអាចដោះស្រាយបំលែងចុងក្រោយនេះដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}$

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការប៊ែរនូយីខាងក្រោម

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

ដោយចែកសមីការនឹង $y^2$ គេបាន

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

ដោយប្តូរអថេរ សមីការក្លាយជា

$\begin{array}{cc}u=\frac{1}{y}& \Rightarrow u^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}\\ & \Rightarrow u^{\prime }+\frac{2}{x}u=x^2(i)\end{array}$

ដែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើកត្តាអាំងតេក្រាល

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=x^2$

ដោយគុណសមីការ (i) នឹង $M(x)$ គេបាន

$u^{\prime }{x}^2+2xu=x^4$

ដោយ $(u{x}^2{)}^{\prime }=u^{\prime }{x}^2+2xu$ គេបាន

$\begin{array}{cc}(u{x}^2{)}^{\prime }& =x^4\\ \int (u{x}^2{)}^{\prime }dx& =\int x^{4}dx\\ u{x}^2& =\frac{1}{5}{x}^5+C\\ \frac{1}{y}{x}^2& =\frac{1}{5}{x}^5+C\end{array}$

ដូចនេះចំលើយនៃសមីការគឺ $y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$