កត្តាអាំងតេក្រាល

ក្នុងគណិតវិទ្យា កត្តាអាំងតេក្រាល​គឺ​ជា​អនុគមន៍​ដែលត្រូវបានគេ​ជ្រើសរើស​ដើម្បី​សំរួល​ដល់​ការដោះស្រាយ​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

វិធីសាស្រ្ត

គេមានសមីការឌីផេរ៉ងស្យែលនៃទម្រង់

$y^{\prime }+a(x)y=b(x)(1)$

ដែល $y=y(x)$ ជាអនុគមន៍មិនស្គាល់នៃ $x$ និង $a(x)$និង$b(x)$ ជាអនុគមន៍ដែលគេអោយ។

វិធីសាស្រ្តកត្តាអាំងតេក្រាល​ដំណើរការ​ដោយត្រលប់​អង្គខាងធ្វេង​ទៅជា​ទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ

ចាត់ទុកអនុគមន៍ $M(x)$ ។ យើងគុណអង្គទាំងសងខាងនឹងនៃ $(1)$ ដោយ $M(x)$ យើងបាន

$M(x)y^{\prime }+M(x)a(x)y=M(x)b(x)(2)$

យើងចង់អោយអង្គខាងធ្វេងទៅជាទម្រង់ដេរីវេនៃផលគុណ (សូមមើល ក្បួនផលគុណ) ។ តាមពិត ប្រសិនបើយើងសន្មតថាអង្គខាងធ្វេងនេះអាចសំដែងឡើងវិញជា

$(M(x)y{)}^{\prime }=M(x)b(x)(3)$

អង្គខាងឆ្វេងក្នុង $(3)$ អាចត្រូវបានធ្វើអាំងតេក្រាលយ៉ាងងាយដោយប្រើទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃការគណនា៖

$y(x)M(x)=\int b(x)M(x)dx+C,$

ដែល $C$ ជាចំនួនថេរ ។ យើងអាចដោះស្រាយសមីការចំពោះ $y(x)$

$y(x)=\frac{\int b(x)M(x)dx+C}{M(x)}$

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការ $y(x)$ យើងចាំបាច់រកកន្សោមមួយចំពោះ $M(x)$ ។

សរសេរ $(3)$ ឡើងវិញដោយប្រើក្បួនផលគុណ។

$(M(x)y{)}^{\prime }=M^{\prime }(x)y+M(x)y^{\prime }=M(x)b(x)$

តួសមភាពក្នុង $(2)$ គឺវាប្រាកដថា $M(x)$ គោរពតាមសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

$M^{\prime }(x)=a(x)M(x)(4)$

ដើម្បីទទួលបាន $M(x)$ ចែកអង្គទាំងពីរនឹង $M(x)$ គេបាន

$\frac{M^{\prime }(x)}{M(x)}-a(x)=0(5)$

សមីការ $(5)$ គឺជាទម្រង់នៃដេរីវេលោការីត។ ដោយដោះស្រាយសមីការ $(5)$ យើងបាន

$M(x)=e^{\int a(x)dx}$

យើងឃើញថាផលគុណនឹង $M(x)$ និងលក្ខណៈ $M^{\prime }(x)=a(x)M(x)$ គឺមានសារៈសំខាន់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ $M(x)$ ហៅថាកត្តាអាំងតេក្រាល។

ឧទាហរណ៍

ដោះស្រាយសមីការសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=0$

យើងអាចឃើញថាក្នុងករណីនេះ $a(x)=\frac{-2}{x}$

$M(x)=e^{\int a(x)dx}$

$M(x)=e^{\int \frac{-2}{x}dx}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$ (សំគាល់៖ យើងមិនចាំបាច់បញ្ចូលថេរអាំងតេក្រាលទេ យើងត្រូវការតែចំលើយមួយគត់ មិនមែនចម្លើយទូទៅទេ)

$M(x)=\frac{1}{x^2}$

ដោយគុណអង្គទាំងសងខាងនឹង $M(x)$ យើងបាន

$\frac{y^{\prime }}{x^2}-\frac{2y}{x^3}=0$

$\left(\frac{y}{x^2}\right)=0$

ឬ

$\frac{y}{x^2}=C$

ដូចនេះ

$y(x)=C{x}^2$

បម្រើបម្រាស់ទូទៅ

ពាក្យកត្តាអាំងតេក្រាលស្ទើរតែជាចម្លើយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី១។ ឧទាហរណ៍ចំពោះសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរលំដាប់ទី២

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=A{y}^{2/3}$

អាចទទួលបាន $\frac{dy}{dt}$ នូវកត្តាអាំងតេក្រាល

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\frac{dy}{dt}=A{y}^{2/3}\frac{dy}{dt}$

ដើម្បីធ្វើអាំងតេក្រាល កត់សំគាល់ថា​អង្គទាំងសងខាង​នៃសមីការ​អាចសំដែងជាដេរីវេ​ដោយត្រលប់ថយក្រោយវិញជាមួយនិងក្បួនឆេន (chain rule) (ឬហៅថាទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់)៖

$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2\right)=\frac{d}{dt}\left(A\frac{3}{5}{y}^{5/3}\right)$

ហេតុនេះ

${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2=\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0$

ដោយប្រើវិធីបំបែកអថេរ គេបាន

$\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{6A}{5}{y}^{5/3}+C_0}}=t+C_1$

នេះ​ជា​ដំណោះស្រាយអ៊ីមផ្លីស៊ីត​ដែលជាប់ទាក់ទង់និងអាំងតេក្រាលថ្នាក់ខ្ពស់។