សមីការកូស៊ី-អយល័រ

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការកូស៊ី-អយល័រ ឬ សមីការអយល័រ-កូស៊ី គឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរអូម៉ូសែនដែលមានមេគុណជាអថេរ​។

សមីការ

តាង $y^{(n)}(x)$ គឺជាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍មិនស្គាល់ $y(x)$ ។ នោះសមីការកូស៊ី-អយល័រលំដាប់ n មានរាង

$x^n{y}^{(n)}(x)+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0$

ដោយជំនួស $x=e^u$ ដើម្បី​បន្ថយ​ស្វ័យគុណ​នៃសមីការ​នេះទៅជា​សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ​ដែលមាន​មេគុណ​ជាចំនួនថេរ។

លំដាប់២

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+ax\frac{dy}{dx}+by=0$

យើងសន្មតតាង

$y=x^m$

ដោយធ្វើដេរីវេ (ឌីផេរ៉ង់ស្យែល) យើងបាន

$\frac{dy}{dx}=m{x}^{m-1}$

និង

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=m(m-1)x^{m-2}$

ជំនួសវាចូលក្នុងសមីការដើម យើងបាន

$x^2(m(m-1)x^{m-2})+ax(m{x}^{m-1})+b(x^m)=0$

តំរៀបឡើងវិញ យើងបាន

$m^2+(a-1)m+b=0$

យើងអាចដោះស្រាយសមីការនេះចំពោះ m ។​ មានបីករណីពិសេស

1. ករណីទី១៖ ឫសពីរផ្សេងគ្នា $m_1$ និង $m_2$
2. ករណីទី២៖ ឫសឌុប $m$
3. ករណីទី៣៖ ឫសជាចំនួនកុំផ្លិច $\alpha \pm i\beta$

• ករណីទី១៖​ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y=c_1{x}^{m_1}+c_2{x}^{m_2}$

• ករណីទី២៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y=c_1{x}^m\ln (x)+c_2{x}^m$

• ករណីទី៣៖ ចំលើយផ្តល់អោយដោយ

$y=c_1{x}^{\alpha }\cos (\beta \ln (x))+c_2{x}^{\alpha }\sin (\beta \ln (x))$

សមីការនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយជាមួយនឹងបំលែង $x=e^t$ ។

ឧទាហរណ៍

គេអោយសមីការ

$x^2{u}^{″}-3x{u}^{\prime }+3u=0$

យើងជំនួសចំលើយងាយ $x^{\alpha }$

$x^2(\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2})-3x(\alpha (x^{\alpha -1}))+3(x^{\alpha })=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha }-3\alpha x^{\alpha }+3x^{\alpha }$

$=(\alpha (\alpha -1)-3\alpha +3)x^{\alpha }$

យើងបាន $\alpha =1$ និង $\alpha =3$ ។ ចំលើយទូទៅនៃសមីការគឺ

$u=Ax+B{x}^3$