វិសមភាពស្យ៉ឺរ

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា, វិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះដោយយកតាមឈ្មោះរបស់លោក អ៊ីសសាយ ស្យ៉ឺរ (Issai Schur) ។ វិសមភាពនេះចែងថា​ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិត​មិនអវិជ្ជមាន x y z និងចំនួនវិជ្ជមាន t គេបាន

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$

វិសមភាពនេះក្លាយសមភាពលុះត្រាតែ x = y = z ឬ តួពីរក្នុងចំនោមតួទាំងបីនេះស្មើគ្នា និងតួមួយផ្សេងទៀតមានតំលៃស្មើសូន្យ។ នៅពេល t ជាចំនួនគត់វិជ្ជមានហើយគូរ នោះវិសមភាពគឺពិតចំពោះចំនួនពិត x, y និង z ។

សំរាយបញ្ជាក់

ដោយសារតែ$x,y,z$ឆ្លុះចំពោះវិសមភាព យើងអាចសន្មតថាវាមិនបាត់បង់លក្ខណៈទូទៅដែលថា $x\ge y\ge z$ទេ។ គេបានវិសមភាពអាចសំដែងជារាង

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$

គ្រប់តួរនិមួយៗនៅអង្គខាងធ្វេងនៃសមីការគឺមិនអាចអវិជ្ជមានទេ។

ការពន្លាត

លក្ខណៈទូទៅនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរ (Schur's inequality) ឧបមា a,b,c គឺជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ (a,b,c) និង (x,y,z) គឺ similarly sorted នោះគឺគេបាន៖

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\ge 0$

នៅក្នុងឆ្នាំ២០០៧ អ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិរ៉ូម៉ានីឈ្មោះ Valentin Vornicu បានបង្ហាញថាទំរង់លក្ខណ៖ពិសេសនៃវិសមភាពស្យ៉ឺរនៅមានបន្ថែមទៀត៖

គេមាន $a,b,c,x,y,z\in ℝ$, ដែល$a\ge b\ge c$, និង $x\ge y\ge z$ ឬ $z\ge y\ge x$។ តាង$k\in {\mathbb{Z}}^{+}$, និងតាង $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$ អាចជាអនុគមន៍ផត ឬម៉ូណូតូន។ នោះគេបាន

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0$

ទំរង់ស្តង់ដានៃវិសមភាពស្យ៉ឺរគឺជាករណីនៃវិសមភាពនេះដែល x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r ។

សំរាយបញ្ជាក់

ចំណាំៈ បើ $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$ ជាអនុគមន៍ផតហើយចំពោះ $m\ge n\ge 0;p\ge n\ge 0$ និងចំពោះ $a,b,c\in I$ គេបាន:

$mf(a)-nf(b)+pf(c)\ge 0$  ;(I)

យើងពិនិត្យករណី k ជាចំនួនគូនោះវិសមភាពខាងលើពិតជានិច្ច។ ហើយបើករណី k ជាចំនួនសេសវិញវិសមភាពខាងលើទៅជាៈ

$(a-b{)}^k(a-c{)}^{k}f(x)-(a-b{)}^k(b-c{)}^{k}f(y)+(a-c{)}^k(b-c{)}^{k}f(z)\ge 0$

បន្ទាប់មកយើងតាង $m=(a-b{)}^k(a-c{)}^k;n=(a-b{)}^k(b-c{)}^k;p=(a-c{)}^k(b-c{)}^k;a\ge b\ge c$

$m-n=(a-b{)}^k((a-c{)}^k-(b-c{)}^k)\ge 0⟹m\ge n$

$p-n=(b-c{)}^k((a-c{)}^k-(a-b{)}^k)\ge 0⟹p\ge n$

ដូចនេះយើងបាន $mf(x)-nf(y)+pf(z)\ge 0$

$⟹(a-b{)}^k(a-c{)}^{k}f(x)-(a-b{)}^k(b-c{)}^{k}f(y)+(a-c{)}^k(b-c{)}^{k}f(z)\ge 0$ ពិត ។

សរុបទាំងពីរករណីខាងលើយើងបានចំលើយពិត។

ចំពោះវិសមភាព (I) ខាងលើយនេះប្រហែលជាមិនទាន់មានសៀវភៅណាមួយបានបោះពុម្ពផ្សាយនៅឡើយទេ។ ហើយចំពោះការស្រាយបញ្ជាក់សូមចូលមកទំព័រ:V-K

សូមមើលផងដែរ

• វិសមភាព