មេដ្យាន

ក្នុងធរណីមាត្រ មេដ្យានទ័រនៃអង្តក់គឺជាអង្កត់ដែលភ្ជាប់ពីកំពូលនៃត្រីកោណទៅកាន់ចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈមនឹងកំពូលនោះ។ ក្នុងត្រីកោណនីមួយៗតែងតែមានមេដ្យានបី ដែលមេដ្យាននីមួយៗគូសចេញពីកំពូលកាន់ជ្រុងឈមហើយកាត់ជ្រុងឈមនោះត្រង់ចំនុចកណ្តាល។

ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី

មេដ្យានទាំងបីនៃត្រីកោណជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ។ កត់សំគាល់ថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណគឺស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងត្រីកោណជានិច្ច។ ពីរភាគបីនៃរង្វាស់មេដ្យាននីមួយៗគឺជារង្វាស់រវាងកំពូលនិងទីប្រជុំទំងន់ ដែលមួយភាគបីគឺជារង្វាស់ពីទីប្រជុំទំងន់ទៅចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុងឈម។មេដ្យាទ័រនែជ្រុងMNនិងMPនៃត្រីកោណMNPប្រសព្វត្រង់Oបង្ហាញថាOM=ON=OP

ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា

មេដ្យានទាំងបីចែកត្រីកោណជា៦ត្រីកោណដែលមានក្រលាផ្ទៃស្មើៗគ្នា។ បន្ទាត់ដែលចែកក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាពីរស្មើគ្នា គឺមិនកាត់តាមទីប្រជុំទំងន់ទេ។

សំរាយបញ្ជាក់

គេមានត្រីកោណ ABC ។ តាង D ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AB តាង E ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង BC តាង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃជ្រុង AC និងតាង O ជាទីប្រជុំទំងន់។

តាមនិមយន័យ $A D = D B, A F = F C, B E = E C$

ហេតុនេះ $S_{A D O} = S_{B D O}, S_{A F O} = S_{C F O}, S_{B E O} = S_{C E O}$

ដែល $S_{A B C}$ តំណាងអោយក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

យើងបាន

S_{A B O} = S_{A B E} - S_{B E O}

S_{A C O} = S_{A C E} - S_{C E O}

ហេតុនេះ

S_{A B O} = S_{A C O}

និង

S_{A D O} = S_{D B O}, S_{A D O} = \frac{1}{2} S_{A B O}

ដោយ $S_{A F O} = S_{F C O}, S_{A F O} = \frac{1}{2} S_{A C O} = \frac{1}{2} S_{A B O} = S_{A D O}$

គេបាន $S_{A F O} = S_{F C O} = S_{A D O} = S_{D B O}$

ដោយប្រើវិធីដូចគ្នា យើងអាចបង្ហាញថា $S_{A F O} = S_{F C O} = S_{A D O} = S_{D B O} = S_{B E O} = S_{C E O}$

រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem) ចំពោះត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a b និង c (ដូចបង្ហាញក្នុងរូបខាងលើ) ; $m_{a}$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ទៅកាន់ជ្រុង BC ; $m_{b}$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល B ទៅកាន់ជ្រុង AC និង $m_{c}$ រង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល C ទៅកាន់ជ្រុង AB ( $m_{a} = A D; m_{b} = B E; m_{c} = C F; a = B C; b = A C; c = A B$ ) យើងបានទំនាក់ទំនងរវាង $m_{a}$ និង រង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណសំដែងដោយ

4 m_{a}^{2} + a^{2} = 2 (b^{2} + c^{2})

\Rightarrow m_{a} = A D = \sqrt{\frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4}}

ដូចគ្នាដែរចំពោះមេដ្យានគូសចេញពីកំពូលផ្សេងទៀតនៃត្រីកោណ

\Rightarrow m_{b} = B E = \sqrt{\frac{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}{4}}

\Rightarrow m_{c} = C F = \sqrt{\frac{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}{4}}

គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន

ឯកសារ:ក្រលាផ្ទៃនិងមេដ្យាន.png

មេដ្យាន $A A_{1}$ នៃត្រីកោណ ABC គឺគូសចេញពីកំពូល $A$ ទៅកាន់ចំនុចកណ្តាល $A_{1}$ នៃជ្រុងឈមនៃកំពូល A ។ មេដ្យានទាំងបីជួបគ្នាត្រង់ចំនុចមួយ G ហៅថាទីប្រជុំទំងន់នៃត្រីកោណ ABC ។ G ក៏អាចហៅថាបារីសង់នៃត្រីកោណ ABC ផងដែរ។ ចំនុច G ជាទ្រីលីនែអ៊ែ (ចំនុចធៀបនៃចំងាយរវាងជ្រុងទាំងបីនៃត្រីកោណនិងចំនុចនោះ) ដែល $\frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c}$ (a, b, និង c ជារង្វាស់ជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC) ។ លើសពីនេះទៅទៀត មេដ្យាននៃត្រីកោណមួយចែកជាមេដ្យានមួយទៀត (មេដ្យាននៃត្រីកោណមេដ្យាន) ដោយផលធៀប ២:១

A G : G A_{1} = B G : G B_{1} = C G : G C_{1} = 2 : 1

តាង $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃមេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A B និង C ។ គេបាន

{\begin{matrix} m_{a}^{2} = \frac{1}{4} (2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}) \\ m_{b}^{2} = \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) \\ m_{c}^{2} = \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}) \end{matrix}

\Rightarrow m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2})

តាង $p_{m} = \frac{1}{2} (m_{a} + m_{b} + m_{c})$

គេបានក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC កំនត់ដោយ

S_{A B C} = \frac{3}{4} \sqrt{p_{m} (p_{m} - m_{a}) (p_{m} - m_{b}) (p_{m} - m_{c})}

សូមមើលផងដែរ

មេដ្យាន

មាតិកា

ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី

ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា

រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន

គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន

សូមមើលផងដែរ

បញ្ជីណែនាំ

មេដ្យាន

ចំនុចប្រសព្វនៃមេដ្យានទាំងបី

ការចែកក្រលាផ្ទៃស្មើគ្នា

រូបមន្តគណនារង្វាស់មេដ្យាន

គណនាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណជាអនុគមន៍នៃរង្វាស់មេដ្យាន

សូមមើលផងដែរ

បញ្ជីណែនាំ

ស្វែងរក