ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស

ឯកសារ:ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស.png

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

m=n(=1) បៃតង + ខៀវ = ក្រហម

ក្នុងធរណីមាត្រ ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស(Apollonius' theorem) គឺជាទ្រឹស្តីបទមួយដែលទាក់ទងទៅនឹងធាតុខ្លះៗនៃត្រីកោណមួយ ។ គេមាន ត្រីកោណ ABC បើ D ជាចំនុចមួយនៅលើ BC ដែលវាចែក BC ជាប្រភាគ n : m (ឬ $m\cdot BD=n\cdot DC$) នោះគេបាន

$mA{B}^2+nA{C}^2=mB{D}^2+nD{C}^2+(m+n)A{D}^2$

ករណីពិសេស

• ពេល $m=n(=1)$ នោះ AD ជាមេដ្យានដែលចោលលើ BC នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជាទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន៖

$A{B}^2+A{C}^2=B{D}^2+D{C}^2+2A{D}^2$

• ពេល AB = AC នោះ ត្រីកោណជាត្រីកោណសមបាត ។ នោះទ្រឹស្តីបទក្លាយទៅជា

$A{D}^2+B{D}^2=A{B}^2(=A{C}^2)$

ចំពោះ ត្រីកោណ$ABC$ បើ$AD$ ជាមេដ្យាន នោះ $A{B}^2+A{C}^2=2(A{D}^2+B{D}^2)$

ដើម្បីបង្ហាញចំពោះទ្រឹស្តីបទនេះ តាង$AX$ ជាចំណោលកែងទៅនឹង$BC$ ពីចំនុច $A$ ។ តាមទ្រឹស្តីបទពីតាករ ចំពោះត្រីកោណកែង$ABX$ និង $ACX$ គេបាន

$A{B}^2=A{X}^2+B{X}^2$

$=A{X}^2+(BD+DX{)}^2$

$=A{X}^2+B{D}^2+D{X}^2+2.BD.DX(i)$

និង

$A{C}^2=A{X}^2+C{X}^2$

$=A{X}^2+(CD-DX{)}^2$

$=A{X}^2+C{D}^2+D{X}^2-2.CD.DX(ii)$

ដោយបូកបញ្ចូលសមីការ(i) និង (ii)

$A{B}^2+A{C}^2$

$=A{X}^2+B{D}^2+D{X}^2+2.BD.DX+A{X}^2+C{D}^2+D{X}^2-2.CD.DX$

$=2(A{X}^2+D{X}^2+B{D}^2)$

ដោយ $BD=DC,$

$2.BD.DX=2.DC.DX$

$=2(A{X}^2+D{X}^2)+2B{D}^2$

$=2(A{D}^2+B{D}^2)$

ដោយ $AXD$ គឺជាមុំកែង

ដូច្នេះទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្ហាញ ។