ដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

អនុគមន៍	ដេរីវេ
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\cos (x)$	$-\sin (x)$
$\tan (x)$	${\sec }^2(x)$
$\cot (x)$	$-{\csc }^2(x)$
$\sec (x)$	$\sec (x)\tan (x)$
$\csc (x)$	$-\csc (x)\cot (x)$
$\arcsin (x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan (x)$	$\frac{1}{x^2+1}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រគឺជាវិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យា​មួយក្នុងស្វែងរកអត្រាដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយធ្វើការផ្លាស់ប្តូរដោយគោរពតាម​អថេរ។ វាក៏ត្រូវបានគេហៅម្យ៉ាងទៀតថាជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រធម្មតាទូទៅរួមមាន $\sin (x),\cos (x)$ និង  $\tan (x)$។

ឧទាហរណ៍៖ ក្នុងគណនា $f^{\prime }(x)$ ដោយធ្វើដេរីរេនៃអនុគមន៍ $f(x)=\sin (x)$ ដែលជាការគណនាអត្រាបំលាស់ប្តូរនៃអនុគមន៍ $\sin (x)$ នៅត្រង់ចំនុច a មួយ។ តំលៃនៃអត្រានៅត្រង់ចំនុច a គឺផ្តល់អោយដោយ $f^{\prime }(a)$ ។ ការយល់ដឹងអំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីគោលការណ៍បឋមគឺជាការចាំបាច់ ជាមួយនឹងការប្រើប្រាស់លក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ និងលីមីត។ គ្រប់អនុគមន៍ទាំងអស់គឺជាប់ទាក់ទងនឹងតំលៃ arbitrary នៃ x ជាមួយនឹងគ្រប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសំដែងដោយគោរពតាម x ។

ដេរីវេនៃ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) and csc(x) និងអនុគមន៍ច្រាស់របស់វា

$f(x)=\sin (x)⟹f^{\prime }(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)⟹f^{\prime }(x)=-\sin (x)$

$f(x)=\tan (x)⟹f^{\prime }(x)=(\tan (x){)}^{\prime }=\left(\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$

$f(x)=\cot (x)⟹f^{\prime }(x)=(\cot (x){)}^{\prime }=\left(\frac{\cos (x)}{\sin (x)}\right)=\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}=-(1+{\cot }^2(x))=-{\csc }^2(x)$

$f(x)=\sec (x)⟹f^{\prime }(x)=(\sec (x){)}^{\prime }=\left(\frac{1}{\cos (x)}\right)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)}.\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x)\tan (x)$

$f(x)=\csc (x)⟹f^{\prime }(x)=(\csc (x){)}^{\prime }=\left(\frac{1}{\sin (x)}\right)=-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}=-\frac{1}{\sin (x)}.\frac{\cos (x)}{\sin (x)}=-\csc (x)\cot (x)$

$f(x)=\arcsin (x)⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f(x)=\arccos (x)⟹f^{\prime }(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f(x)=\arctan (x)⟹f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}$

សំរាយបញ្ជាក់នៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស និងកូសីនុស

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីរេនៃ f(x) គេបាន៖

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ហេតុនេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$

ប្រើលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ គេបាន

$\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$ យើងអាចថា

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)\cos (h)+\cos (x)\sin (h)-\sin (x)}{h}$

ផ្តុំតួ cos(x) និង sin(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\sin (h)-\sin (x)(1-\cos (h))}{h}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\sin (h)}{h}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)(1-\cos (h))}{h}$

ដោយសារ sin(x) និង cos(x) មិនខុសគ្នានឹង h

$f^{\prime }(x)=\cos (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}-\sin (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (h)}{h}$

តំលៃនៃលីមីត

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}$  និង  $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (h)}{h}$

គឺស្មើ ១ និង ០ ។ ដូច្នេះបើ f(x) = sin(x) គេបាន

$f^{\prime }(x)=\cos (x)$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុស

តាមនិយមន័យដេរីវេនៃអនុគមន៍ f(x) គេបាន៖

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$

យោងតាមលក្ខណៈត្រីកោណមាត្រ

$\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$ យើងបាន

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)\cos (h)-\sin (x)\sin (h)-\cos (x)}{h}$

ផ្តុំតួ sin(x) និង cos(x) នោះគេបានដេរីវេក្លាយជា

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-\sin (x)\sin (h)-\cos (x)(1-\cos (h))}{h}$

រៀបឡើងវិញនូវតួនិមួយៗ និងធ្វើលីមីត គេបាន

$f^{\prime }(x)=-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)\sin (h)}{h}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)(1-\cos (h))}{h}$

ដោយសារតែ sin(x) និង cos(x) មិនខុសពី h គេបាន

$f^{\prime }(x)=-\sin (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}-\cos (x)\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (h)}{h}$

តំលៃនៃលីមីត

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}$  និង  $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (h)}{h}$

គឺស្មើនឹង ១ និង ០ ។ ហេតុនេះបើ f(x) = cos(x) គេបាន

$f^{\prime }(x)=-\sin (x)$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍តង់សង់

យើងមាន

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

តាង $f(x)=\tan (x),g(x)=\sin (x)$ និង $h(x)=\cos (x)$

ចំពោះ $h(x)\ne 0$ នោះបានដេរីវេនៃ$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ កំនត់ដោយ

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$

យោងតាមសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃអនុគមន៍តង់សង់

$\tan (x)=\frac{sin(x)}{\cos (x)}$

ដោយ

ដេរីវេនៃ $g(x)=\sin (x)$ គឺ $g^{\prime }(x)=\cos (x)$

ដេរីវេនៃ $h(x)=\cos (x)$ គឺ $h^{\prime }(x)=-\sin (x)$

ដោយជំនួសតំលៃនៃដេរីវេ គេបាន

$f^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)[-\sin (x)]}{{\cos }^2(x)}$

បន្ទាប់ពីធ្វើប្រមាណរួចគេបាន

$f^{\prime }(x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

ដោយអនុវត្តន៍សញ្ញាណនៃត្រីកោណមាត្រខាងក្រោម

${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$   និង  $\sec (x)=\frac{1}{cos(x)}$

គេបាន

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}={\sec }^2(x)$

សំរាយបញ្ជាក់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ច្រាស់ត្រីកោណមាត្រ

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ស៊ីនុសច្រាស់ (អាកស៊ីនុស)

យើងតាង

$y=\arcsin x$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

$\frac{d}{dx}\sin y=\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx}\cos y=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos (\arcsin x)}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arcsin(x) យើងបាន

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍កូស៊ីនុសច្រាស់ (អាកកូស៊ីនុស)

យើងតាង

$y=\arccos x$

នោះគេបាន

$\cos y=x$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx គេបាន៖

$\frac{d}{dx}\cos y=\frac{d}{dx}x$

$-\frac{dy}{dx}\sin y=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\sin y}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ យើងបាន

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\sin (\arccos x)}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arccos(x) យើងបាន

$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍តង់សង់ច្រាស់ (អាកតង់សង់)

យើងតាង

$y=\arctan x$

នោះយើងបាន

$\tan y=x$

ដោយប្រើឌីផេរ៉រង់ស្យែលអ៊ីមផ្លីស៊ីត (implicit differentiation) ចំពោះ dy/dx យើងបាន៖

$\frac{d}{dx}\tan y=\frac{d}{dx}x$

$\frac{dy}{dx}{\sec }^{2}y=1$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}$

ដោយជំនួស y ក្នុងទំរង់ខាងលើ តើងបាន

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^2(\arctan x)}$

ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ និងទ្រឹស្តីបទពីតាករ យើងបាន

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^2}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^2+1}$

ដូច្នេះ បើ f(x) = arctan(x)

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}$

វាមានភាពងាយស្រួលជាងដើម្បីទាញបានទំនាក់ទំនង៖ $tan(arctan(x))=x$

ចូរស្វែងយល់អំពីដេរីវេនៃ $\tan (x)$ គឺ $1+ta{n}^2(x)$ ។

សូមមើលផងដែរ

• ដេរីវេ
• ត្រីកោណមាត្រ
• តារាងដេរីវេ