បារីសង់

បារីសង់របស់ត្រីកោណ

ក្នុងធរណីមាត្រ បារីសង់ (barycenter, centroid) នៃវត្ថុ$X$ ក្នុងលំហដែលមានវិមាត្រ$n$ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃគ្រប់ប្លង់ដែលបែងចែកវត្ថុ$X$ ជាពីរផ្នែកដែលមានម៉ូម៉ង់ស្មើគ្នាចំពោះប្លង់។ ជាធម្មតា វាត្រូវបានគេហៅថា មធ្យមនៃគ្រប់ចំណុចនៃ$X$ ។

បារីសង់នៃសំណុំចំណុចអាចត្រូវគេគណនា តាមមធ្យមនព្វន្ឋ (arithmetic mean) នៃកូអ័រដោណេ (coordinate) របស់ចំណុច។

បារីសង់របស់ត្រីកោណ និង តេត្រាអែត

បារីសង់របស់ត្រីកោណ (triangle) មួយ គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃមេដ្យាន (median) ទាំង៣របស់ត្រីកោណនោះ។

បារីសង់ចែកមេដ្យាននីមួយៗតាមផលធៀប 2:1​ មានន័យថាវាស្ថិតនៅ $\frac{1}{3}$នៃកម្ពស់រវាងជ្រុងនីមួយៗ និង ចំណុចឈម (ដូចបង្ហាញក្នុងរូប)។

បើត្រីកោណបង្កើតឡើងដោយរបាយស្មើសាច់ នោះបារីសង់ជាទីប្រជុំទម្ងន់​នៃត្រីកោណ។ កូអ័រដោណេដេកាត (Cartesian coordinate system) របស់វា គឺជាមធ្យមនៃកូអ័រដោណេរបស់កំពូលទាំង៣ ។ ដូចនេះ បើកំពូលទាំង៣មានកូអ័រដោណេ$(x_a,y_a)$ $(x_b,y_b)$ និង $(x_c,y_c)$ នោះបារីសង់មានកូអ័រដោណេ :$(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}(x_a+x_b+x_c),\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}(y_a+y_b+y_c))=\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}(x_a,y_a)+\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}(x_b,y_b)+\begin{array}{c}\frac{1}{3}\end{array}(x_c,y_c)$

បារីសង់របស់តេត្រាអែត (tetrahedron, triangular pyramid) គឺជាប្រសព្វនៃគ្រប់អង្កត់បន្ទាត់ដែលភ្ជាប់កំពូលនីមួយៗ ទៅនឹងបារីសង់របស់មុខឈម។ អង្កត់បន្ទាត់ទាំងនេះចែកបារីសង់តាមផលធៀប 3:1 ។

បង្ហាញថាបារីសង់នៃត្រីកោណមួយចែកមេដ្យាននីមួយៗតាមផលធៀប 2:1​

តាងមេដ្យាន AD BE និង CF នៃត្រីកោណABC ប្រសព្វគ្នាត្រង់ G ដែលជាបារីសង់នៃត្រីកោណ ហើយតាងបន្ទាត់ត្រង់ AD មានពន្លាតដល់ចំណុច O ដែល

$AG=GO$ ។

នោះ ត្រីកោណ AGE និង AOC ជាត្រីកោណដូចគ្នា (AO ស្មើ២ដង AG ហើយ AC​ ស្មើ២ដង AE) ដូចនេះ OC ស្របនឹង GE ។ ដោយ GE ជាពន្លាតនៃ BG ដូចនេះ OC ស្របនឹង BG ។ សម្រាយដូចគ្នា គេបាន OB ស្របនឹង CG ។

GBOC ជាប្រលេឡូក្រាម (parallelogram) ។ អង្កត់ទ្រូងរបស់ប្រលេឡូក្រាមប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច D ។ គេបាន GD = DO

$GO=GD+DO=2GD$

ដូចនេះ $AG=GO=2GD$

ឬ $AG:GD=2:1$

ទាំងនេះពិតចំពោះគ្រប់មេដ្យាន។

បារីសង់របស់ពហុកោណ

បារីសង់នៃពហុកោណបិទជិតដែលកំណត់ដោយ N កំពូល ( x_i , y_i ) អាចត្រូវបានគេគណនាដូចខាងក្រោម ។ កំពូល ( x_N , y_N ) ដូចនឹង ( x₀ , y₀ ) ។

ផ្ទៃរបស់គឺ

$A=\frac{1}{2}\sum _{i=0}^{N-1}(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)$

នោះ បារីសង់របស់ពហុកោណគឺ

$C_x=\frac{1}{6A}\sum _{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)$

$C_y=\frac{1}{6A}\sum _{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)$

បារីសង់នៃសំណុំចំណុច

គេឱ្យ សំណុំចំណុច $x_1,x_2,\dots ,x_k$ in ${ℝ}^n$ ។ បារីសង់$C$របស់វា គឺកំណត់ដោយ

$C=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_k}{k}$ ។

បារីសង់នៃផ្ទៃ

បារីសង់នៃផ្ទៃ គឺស្រដៀងនឹងទីប្រជុំនៃម៉ាស (center of mass) នៃអង្គធាតុ។ បើអង្គធាតុជាអូម៉ូសែន (homogeneous) ទីប្រជុំទម្ងន់​នៃម៉ាសគឺជាបារីសង់។

ចំពោះរូបធាតុ២ គេបានសមីការ

$\bar{y}=\frac{\overline{y_1}{A}_1+\overline{y_2}{A}_2}{A_1+A_2}$

$\bar{y}$ ជាចម្ងាយពីអ័ក្សកូអ័រដោណេទៅបារីសង់នៃផ្ទៃអង្គធាតុ។ $A$ ជាផ្ទៃនៃផ្នែករបស់អង្គធាតុ។ អនុគមន៍ទូទៅសម្រាប់គណនាបារីសង់

$\bar{x}=\frac{\sum \overline{x_i}{A}_i}{\sum A_i}$

$\bar{y}=\frac{\sum \overline{y_i}{A}_i}{\sum A_i}$

ចម្ងាយពីអ័ក្ស (y'oy) ទៅបារីសង់ គឺ $\bar{x}$ ។ ចម្ងាយពីអ័ក្ស (x'ox) ទៅបារីសង់ គឺ $\bar{y}$ ។ កូអ័រដោណេរបស់បារីសង់ $(\bar{x},\bar{y})$ ។

រូបមន្តអាំងតេក្រាល

អាប់ស៊ីស (abscissa) ​របស់បារីសង់នៃប្លង់ឱ្យដោយអាំងតេក្រាល

$C_x=\frac{\int xf(x)dx}{\int f(x)dx}$

បារីសង់របស់កោណ និង ពីរ៉ាមីត

បារីសង់របស់កោណ ឬ ពីរ៉ាមីតគឺស្ថិតនៅលើអង្កត់បន្ទាត់ដែលភ្ជាប់កំពូលទៅនឹងបាតនៃបារីសង់​ ហើយចែកអង្កត់នោះជាផលធៀប ៣:១ ។