ទ្រឹស្តីបទតូលេមី

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

ក្នុងគណិតវិទ្យា ទ្រឹស្តីបទតូលេមី (Ptolemy's theorem) ជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងក្នុងធរណីមាត្រអឺគ្លីតរវាងជ្រុងទាំង៤ និងអង្កត់ទ្រូង២ ឬអង្កត់ធ្នូពីរនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។ ទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានយកឈ្មោះតាមតារាវិទូ និងជាគណិតវិទូជនជាតិក្រិចឈ្មោះតូលេមី។ បើចតុកោណមានកំពូលជ្រុងរៀងគ្នា A, B, C, និង D នោះគេបានទ្រឹស្តីបទផ្តល់អោយដោយទំនាក់ទំនង

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$

ដែល

• AB , BC, CD, AD ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ ABCD
• AC និង BD ជារង្វាស់អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណ ABCD

សំរាយបញ្ជាក់

ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស

ខាងក្រោមនេះជាសំរាយបញ្ជាក់នៃទ្រឹស្តីបទតូលេមីដោយប្រើទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស។

គេមានចតុកោណ ABCD ដែល$a=AD,b=AB,c=BC,d=DC$ និង $\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }DAB,\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }ABC,\mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }BCD,\mathrm{\angle }D=\mathrm{\angle }CDA$។ តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស និងលក្ខណៈនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ គេបាន

$B{D}^2=a^2+b^2-2ab\cos A$

$\begin{array}{cc}B{D}^2& =c^2+d^2-2cd\cos C\\ & =c^2+d^2+2cd\cos A\\ \end{array}$

(ព្រោះ $A+C=\pi \Rightarrow \cos C=\cos (\pi -A)=-\cos A$)

ដោយបំបាត់ cos A ពីសមីការទាំងពីរខាងលើ យើងបាន

$(ab+cd)B{D}^2=(ad+bc)(ac+bd)$

ដូចគ្នាដែរចំពោះអង្កត់ទ្រូង AC យើងបាន

$(ad+bc)A{C}^2=(ab+cd)(ac+bd)$

ដោយគុណសមីការនៃអង្កត់ទ្រូងទាំងពីរចូលគ្នា យើងបាន

$\begin{array}{cc}(ab+cd)(bc+ad)A{C}^2\cdot B{D}^2& =(ac+bd{)}^2(ad+bc)(ab+cd)\\ A{C}^2\cdot B{D}^2& =(ac+bd{)}^2\\ AC\cdot BD& =ac+bd\\ \end{array}$

ដូចនេះ

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$

សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈធរណីមាត្រ

សំរាយបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ

តាង ABCD ជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។

មុំចារឹកក្នុង $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ និង $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ ដែរ។

សង់ចំនុច K នៅលើអង្កត់ AC ដែល $\widehat{ABK}=\widehat{DBC}$

យើងបាន $\widehat{ABD}=\widehat{ABK}+\widehat{KBD}=\widehat{DBC}+\widehat{KBD}=\widehat{KBC}$ ។

△ABK ដូចគ្នានឹងត្រីកោណ △DBC, ហើយ △ABD ក៏ដូចគ្នានឹង △KBC ។

គេទទួលបានទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម $\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}$ និង $\frac{CK}{BC}=\frac{DA}{BD}$ ។

$\Rightarrow AK\cdot BD=AB\cdot CD$ និង $CK\cdot BD=DA\cdot BD$ ។

បូកអង្គសងខាងនៃទំនាក់ទំនងខាងលើគេបាន $(AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

ដោយ $AK+CK=AC$

ដូច្នេះគេទទួលបានទ្រឹស្តីបទ

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

សូមមើលផងដែរ

• វិសមភាពតូលេមី
• ទ្រឹស្តីបទកាសី (Casey's theorem)