វិសមភាពតូលេមី

វិសមភាពតូលេមី (Ptolemy's inequality) ជាវិសមភាពសិក្សាពីចំងាយរវាងបួនចំនុចក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។

ពំនោលនៃវិសមភាព

គេមានបួនចំនុច A B C និង D ក្នុងលំហអាហ្វីនអឺគ្លីដ។ គេបាន

A B \cdot C D \leq A C \cdot B D + A D \cdot B C

វិសមភាពនេះគឺអាចត្រូវបានគេទាញដោយផ្ទាល់ពីវិសមភាពត្រីកោណដោយប្រើ Involution ។

តាង a b និង c ជារង្វាស់រៀងគ្នានៃ AB AC និង AD ។

យើងគណនា

{‖ \frac{b}{‖ b ‖^{2}} - \frac{c}{‖ c ‖^{2}} ‖}^{2} = \frac{1}{‖ b ‖^{2}} - 2 \frac{< b | c >}{‖ b ‖^{2} ‖ c ‖^{2}} + \frac{1}{‖ c ‖^{2}} = \frac{‖ b - c ‖^{2}}{‖ b ‖^{2} ‖ c ‖^{2}}

‖ \frac{b}{‖ b ‖^{2}} - \frac{c}{‖ c ‖^{2}} ‖ = \frac{‖ b - c ‖}{‖ b ‖ . ‖ c ‖}

ដោយអនុវត្តវិសមភាពត្រីកោណចំពោះ $\frac{b}{‖ b ‖^{2}}, \frac{c}{‖ c ‖^{2}}, \frac{d}{‖ d ‖^{2}}$ គេបាន:

\frac{‖ d - c ‖}{‖ c ‖ . ‖ d ‖} \leq \frac{‖ d - b ‖}{‖ b ‖ . ‖ d ‖} + \frac{‖ b - c ‖}{‖ b ‖ . ‖ c ‖}

គុណវិសមភាពនេះនឹង $‖ b ‖ . ‖ c ‖ . ‖ d ‖$ គេបាន:

‖ b ‖ . ‖ d - c ‖ \leq ‖ c ‖ . ‖ d - b ‖ + ‖ d ‖ . ‖ b - c ‖

នៅពេលបួនចំនុចរៀងគ្នា A B C និង D បង្កើតបានជាចតុកោណប៉ោង គេបានវិសមភាពនេះផ្ទៀងផ្ទាត់ លុះត្រាតែចតុកោណប៉ោងនោះមិនមែនជាចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់។