សមីការដឺក្រេទី២

ឧទាហរណ៍បង្ហាញពីកំនត់សំគាល់សមីការដឺក្រេទី២ ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត f(x)=x^2 - 3x + c</x-1>

ក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការដឺក្រេទី២ ជាសមីការពហុធាដឺក្រេទី២។ ទំរង់ទូទៅនៃសមីការដឺក្រេទី២មានរាង

$a{x}^2+bx+c=0$

តួ a, b និង c ហៅថាមេគុណ: មេគុណដឺក្រេទី២ a ជាមេគុណខុស​ពីសូន្យ​ នៃ $x^2$។ មេគុណលីនេអ៊ែរ b ជាមេគុណនៃ x ចំនែកឯ c វិញជាមេគុណថេរ។ a b និង c ត្រូវបានគេហៅថាតួថេរ។

រូបមន្តរកឫសនៃសមីការដឺក្រេទី២

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច មានឫសពីរអាចជាចំនួនពិតកំណត់ដោយរូបមន្តខាងក្រោម

$a{x}^2+bx+c=a(x-r)(x-s)=0$    និង  $x_{-}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

រាងកាណូនិក និងឌីសគ្រីមីណង់ Δ

ឧទាហរណ៍សញ្ញានៃឌីសគ្រីមីណង់
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

ដើម្បីងាយស្រួលក្នុងសរសេរ យើងតាង $f(x)=a{x}^2+bx+c$ នោះគេបានរាងនៃសមីការដឺក្រេទី២ដោយដាក់ $f(x)=0$ ។

$\begin{array}{cc}f(x)& =a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\ & =a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{c}{a}]\\ & =a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]\\ & =a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)]\end{array}$

គេហៅរាងនៃសមីការដែលបង្ហាញខាងលើនេះថាជារាងកាណូនិក។

ក្នុងសមីការដឺក្រេទីពីរ $b^2-4ac$ ត្រូវបានគេតាងដោយតួអក្សរ $\mathrm{\Delta }$ (ដែលតា)

សមីការដឺក្រេទី២ដែលមានមេគុណជាចំនួនពិត អាចមានឫសឌុប ឬឫសពីរផ្សេងគ្នា ឬក៏មានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិច។ ក្នុងករណីនេះឌីសគ្រីមីណង់ជាអ្នកកំណត់ចំនួន និងលក្ខណៈនៃរឹស។ មានលក្ខ័ណ្ឌបី៖

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន $(\mathrm{\Delta }>0)$ នោះសមីការមានរឹសពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនពិត។

$\begin{array}{cc}f(x)& =a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a^2}]\\ & =a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}\right)}^2]\\ & =a(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})\\ & =a(x+\frac{b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})(x+\frac{b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a})\end{array}$

ពេល $f(x)=0$ រឹសទាំងពីរ $x_1$ និង$x_2$ នៃសមីការកំណត់ដោយ

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

( ឬ $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ )

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ $f(x)$ កំនត់ដោយ

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ $(\mathrm{\Delta }=0)$

$f(x)=0$ តាមវិធីសាសស្រ្តខាងលើ $\mathrm{\Delta }=0$ គេបានរាងកាណូនិកនៃសមីការអាចសរសេរ

${(x+\frac{b}{2a})}^2=0$

នោះសមីការមានរឹសឌុបជាចំនួនពិតកំណត់ដោយ

$x_0=-\frac{b}{2a}$

គេបានទំរង់ជាផលគុណកត្តានៃ $f(x)$ កំនត់ដោយ

$f(x)=a(x-x_0{)}^2$

• ប្រសិនបើឌីសគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន $(\mathrm{\Delta }<0)$ នោះសមីការគ្មានរឹសជាចំនួនពិតទេ ប៉ុន្តែមានពីរផ្សេងគ្នាជាចំនួនកុំផ្លិចឆ្លាស់គ្នាកំណត់ដោយ

  $\begin{array}{cc}x& =\frac{-b}{2a}+i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\\ x& =\frac{-b}{2a}-i\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}\\ i^2& =-1\end{array}$

លក្ខណៈធរណីមាត្រ

ចំពោះអនុគមន៍ដឺក្រេទី២:
f (x) = x² − x − 2 = (x + 1)(x − 2) នៃអថេរ x ដែល អ័ក្ស x នៃចំនុចប្រសព្វរវាងក្រាប និងអ័ក្សអាប់ស៊ីសត្រង់ x = −1 និង x = 2 គឺជារឹសនៃសមីការ x² − x − 2 = 0 ។

រឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២

$a{x}^2+bx+c=0$

គឺជាអនុគមន៍ដឺក្រេទី២នៅពេលដែលគេអោយវាស្មើសូន្យ:

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

ដែលគេកំណត់សរសេរ

$f(x)=0$ ។

បើ a b និង c ជាចំនួនពិត និងដែនកំនត់នៃ f ជាសំនុំនៃចំនួនពិត នោះគេបាន $f(x)=0$ គឺជាចំនុចដែលក្រាបប្រសព្វគ្នាជាមួយអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

យោងតាមការបកស្រាយខាងលើ ប្រសិន​បើ​ឌីសគ្រីមីណង់​វិជ្ជមាន​នោះ​ក្រាប​នឹង​កាត់អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់ពីរ​ចំនុច​ផ្សេងគ្នា។ បើឌីសគ្រីមីណង់ស្មើសូន្យ នោះ​ក្រាប​នឹង​ប៉ះ​អ័ក្សអាប់ស៊ីស​ត្រង់​មួយ​ចំនុច​គត់។ បើឌីសគ្រីមីណង់អវិជ្ជមាន នោះក្រាបមិនកាត់ឬប៉ះអ័ក្សអាប់ស៊ីស។

ការដាក់ជាផលគុណកត្តានៃសមីការដឺក្រេទី២

តួ $x-r$ ជាកត្តានៃពហុធា $a{x}^2+bx+c$ លុះត្រាតែ r ជារឹសនៃសមីការដឺក្រេទី២ $a{x}^2+bx+c=0$ ។

វាកំនត់ដោយរូបមន្តសមីការដឺក្រេទី២ដែល

$a{x}^2+bx+c=a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})$ ។

ក្នុងករណីពិសេសដែលសមីការដឺក្រេទី២មានរឹសឌុប (មានន័យថា $\mathrm{\Delta }=0$ )ពហុធាដឺក្រេទី២អាចដាក់ជាផលគុណកត្តាដូចខាងក្រោម

$a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2$

ឧទាហរណ៍

គេអោយសមីការដឺក្រេទី២ $x^2-ax+2a=0$ ដែល a ជាចំនួនថេរ។ ចូរកំនត់តំលៃនៃ a ដើម្បីអោយសមីការនេះយ៉ាងហោចណាស់មានចំលើយមួយនៅក្នុងចន្លោះ $-1<x<1$ ។

ចំលើយ

យើងមាន $x^2-ax+2a=0$

តាង $f(x)=x^2-ax+2a$

ដើម្បីអោយសមីការមានចំលើយយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅចន្លោះ $-1<x<1$

$\begin{array}{cccc}& ⟺& f(-1)\cdot f(1)& <0\\ & \Rightarrow & (1+a-2a)(1-a+2a)& <0\\ & \Rightarrow & (3a+1)(1+a)& <0\\ & \Rightarrow & a\in ]-\frac{1}{3},-a[\end{array}$