ទ្រឹស្តីបទវ្យែត

ទ្រឹស្តីបទវ្យែត (Viète's Theorem) ឬ រូបមន្តវ្យែត (Viète's formulas) ឬ ទំនាក់ទំនងវ្យែត ឬ ទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនិងរឹស ឬ រូបមន្តវ្យែតសំរាប់រករឺស ត្រូវបាន​ដាក់​ឈ្មោះ​តាម​គណិតវិទូ​បារាំង លោក ហ្វ្រង់ស្វ័រ វ្យែត (François Viète) គឺជា​ទ្រឹស្តីបទ​ទំនាក់​ទំនង​រវាងមេគុណ​នៃ​ពហុធា​ទៅនឹង​ផលបូក និង ផលគុណ​នៃ​រឹស​របស់​ពហុធា​នោះ។

រូបមន្ត

ចំពោះពហុធាដែលមានដឺក្រេ $n\ge 1$

$p(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$

(មេគុណអាចជាចំនួនពិត ឬ ចំនួនកុំផ្លិច និង $a_n\ne 0$ )

គឺជាទ្រឹស្តីបទគ្រឹះនៃពិជគណិត ដែលមាន n រឹសជាចំនួនកុំផ្លិច $x_1,x_2,\dots ,x_n$ ។

ទ្រឹស្តីបទវ្យែតភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងមេគុណ $\{a_n\}$ ទៅនឹងផលបូកសញ្ញានៃរឹស $\{x_i\}$ សំដែងដូចខាងក្រោម

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+\dots +x_{n-1}+x_n=\frac{-a_{n-1}}{a_n}\\ (x_1{x}_2+x_1{x}_3+\cdots +x_1{x}_n)+(x_2{x}_3+x_2{x}_4+\cdots +x_2{x}_n)+\cdots +x_{n-1}{x}_n=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\ ⋮\\ x_1{x}_2\dots x_n=(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}\end{array}$

ពំនោល​នេះ​សមមូល​នឹង​មេគុណ​$a_{n-k}$ ទី $(n-k)$ ដែលផ្តល់ទំនាក់ទំនងផលបូកនៃគ្រប់ផលបូករងនៃរឹសត្រូវបានជ្រើសរើស k ដង៖

$\sum _{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\cdots x_{i_k}=(-1{)}^k\frac{a_{n-k}}{a_n}$

ចំពោះ $k=1,2,\dots ,n$ និមួយៗ​ (ដែល​យើង​អាច​សរសេរ​បង្ហាញ $i_k$ តាម​លំដាប់​កើន​ដើម្បី​អោយ​ផលបូករង​នៃ​រឹស​កាន់​តែ​ជាក់លាក់) ។

ឧទាហរណ៍

ចំពោះពហុធាដឺក្រេទី២

គេមានពហុធាដឺក្រេទី២ $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ។ តាង $x_1;x_2$ និង $x_3$ ជារឹសនៃសមីការ $f(x)=0$ តាម​ទ្រឹស្តីបទផលគុណកត្តា (factor theorem) គេបាន

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=a{x}^2-a(x_1+x_2)x+a{x}_1{x}_2$

ដោយប្រៀបធៀបមេគុណនៃពហុធាគេបាន

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

ចំពោះពហុធាដឺក្រេទី៣

ដូចគ្នាចំពោះពហុធាដឺក្រេទី៣នៃ x

$g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

ដែលមានរឹស $x_1;x_2$ និង $x_3$ គេបាន

$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_1=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{c}{a}\\ x_1{x}_2{x}_3=-\frac{d}{a}\end{array}$