រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

ក្នុងធរណីមាត្រ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តសំរាប់គណនាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ។ រូបមន្តននេះត្រូវបានរកឃើញដោយអ្នកគណិតវិទ្យាជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ឈ្មោះ Carl Anton Bretschneider (១៨០៨ - ១៨៧៨) ។

S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - a b c d \cos^{2} \frac{A + C}{2}}

ដែល

a b c និង d ជារង្វាស់ជ្រុងនៃចតុកោណ
p ជាកន្លះបរិមាត្រ ដែល $p = \frac{a + b + c + d}{2}$
A និង C ជាមុំពីរឈមគ្នា

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ផ្ទៀងផ្ទាត់ចំពោះគ្រប់ចតុកោណ ទាំងចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ និងមិនចារឹកក្នុងរង្វង់។

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

តាង S ជាក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ។ នោះគេបាន

\begin{matrix} S & = S_{△ A D B} + S_{△ B D C} \\ = \frac{1}{2} a b \sin A + \frac{1}{2} c d \sin C \end{matrix}

ហេតុនេះ

4 S^{2} = (a b)^{2} \sin^{2} A + (c d)^{2} \sin^{2} C + 2 a b c d \sin A \sin C

តាមទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស យើងបាន

a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos A = c^{2} + d^{2} - 2 c d \cos C

ពីព្រោះជ្រុងទាំងពីរស្មើនឹងការ៉េនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង BD ។ គេអាចសរសេរឡើងវិញ

\frac{1}{4} (c^{2} + d^{2} - a^{2} - b^{2})^{2} = (a b)^{2} \cos^{2} A + (c d)^{2} \cos^{2} C - 2 a b c d \cos A \cos C

ជំនួសវាក្នុងរូបមន្តខាងលើចំពោះ $4 S^{2}$

4 S^{2} + \frac{1}{4} (c^{2} + d^{2} - a^{2} - b^{2})^{2} = (a b)^{2} + (c d)^{2} - 2 a b c d \cos (A + C)

គេអាចសរសេរវាឡើងវិញ

16 S^{2} = (c + d + a - b) (c + d + b - a) (c + a + b - d) (d + a + b - c) - 16 a b c d \cos^{2} \frac{A + C}{2}

តាង $p = \frac{a + b + c + d}{2}$ (កន្លះបរិមាត្រចតុកោណ)

សមីការខាងលើក្លាយជា

16 S^{2} = 16 (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - 16 a b c d \cos^{2} \frac{A + C}{2}

\Rightarrow S = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - a b c d \cos^{2} \frac{A + C}{2}}

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺចំពោះរង្វាស់ជ្រុងនិងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង

ឯកសារ:ចតុកោណ+អង្កត់ទ្រូង.png

ចតុកោណ ABCD មានរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m និង n

ករណីដែលគេស្គាល់រង្វស់ជ្រុង a, b, c, d និងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង m, n នៃចតុកោណ រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺកំនត់ដោយ

\begin{matrix} S & = \frac{1}{4} \sqrt{4 m^{2} n^{2} - (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}} \\ = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - \frac{1}{4} (a c + b d + m n) (a c + b d - m n)} \end{matrix}

សំរាយបញ្ជាក់តាមលក្ខណៈវ៉ិចទ័រ

ក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណ ABCD ដែលមាន AC និង BD ជាអង្កត់ទ្រូងកំនត់ដោយ

\begin{matrix} S & = \frac{1}{2} | \vec{A C} \times \vec{B D} | \\ \Rightarrow S^{2} & = \frac{1}{4} (\vec{A C} \times \vec{B D}) \cdot (\vec{A C} \times \vec{B D}) \\ \Rightarrow S & = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{A C} \cdot \vec{A C}) (\vec{B D} \cdot \vec{B D}) - (\vec{A C} \cdot \vec{B D})^{2}} \\ \Rightarrow S & = \frac{1}{2} \sqrt{m^{2} n^{2} - (\vec{A C} \cdot \vec{B D})^{2}} (*) \end{matrix}

ដោយ

\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C}

និង

\begin{matrix} \vec{B D} & = \vec{B C} + \vec{C D} \\ = \vec{B A} + \vec{A D} \\ = - (\vec{A B} + \vec{D A}) \end{matrix}

គេបាន

\begin{matrix} 2 (\vec{A C} \cdot \vec{B D}) & = 2 (\vec{A B} + \vec{B C}) \cdot (\vec{B C} + \vec{C D}) \\ = 2 \vec{A B} \cdot (\vec{B C} + \vec{C D}) + 2 \vec{B C} \cdot (\vec{B C} + \vec{C D}) \\ = - 2 \vec{A B} \cdot (\vec{A B} + \vec{D A}) + 2 \vec{B C} \cdot (\vec{B C} + \vec{C D}) \\ = - 2 \vec{A B} \cdot \vec{A B} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{D A} + 2 \vec{B C} \cdot \vec{B C} + 2 \vec{B C} \cdot \vec{C D} \\ = - 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{D A} + 2 \vec{B C} \cdot \vec{C D} \\ = - 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 (\vec{A D} + \vec{D B}) \cdot \vec{D A} + 2 (\vec{B D} + \vec{D C}) \cdot \vec{C D} \\ = - 2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 \vec{A D} \cdot \vec{A D} - 2 \vec{B D} \cdot \vec{D A} + 2 \vec{B D} \cdot \vec{C D} - 2 \vec{C D} \cdot \vec{C D} \\ = - 2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 a^{2} - 2 d^{2} + 2 \vec{B D} \cdot (- \vec{D A} + \vec{C D}) \\ = - 2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 a^{2} - 2 d^{2} - 2 \vec{B D} \cdot \vec{A C} \\ = a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2} \end{matrix}

\Rightarrow (\vec{A C} \cdot \vec{B D})^{2} = \frac{1}{4} (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2} (* *)

ជំនួស (**) ចូលក្នុង (*) គេបាន

S = \frac{1}{2} \sqrt{m^{2} n^{2} - \frac{1}{4} (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}}

S = \frac{1}{4} \sqrt{4 m^{2} n^{2} - (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}}

ដោយពន្លាតកន្សោម និង ផ្តុំតួឡើងវិញគេបានរូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

\begin{matrix} S & = \frac{1}{4} \sqrt{4 m^{2} n^{2} - (a^{2} - b^{2} + c^{2} - d^{2})^{2}} \\ = \sqrt{(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - \frac{1}{4} (a c + b d + m n) (a c + b d - m n)} \end{matrix}

រូបមន្តទាក់ទង

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ (Bretschneider's formula) ជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តប្រាម៉ាហ្គឹបតា (Brahmagupta's formula) ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃចតុកោណចារឹកក្នុងរង្វង់ ដែលជារូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តហេរ៉ុង ចំពោះក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ។

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

សំរាយបញ្ជាក់រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺ

រូបមន្តប្រេឆ្នៃដឺចំពោះរង្វាស់ជ្រុងនិងរង្វាស់អង្កត់ទ្រូង

រូបមន្តទាក់ទង

បញ្ជីណែនាំ

ស្វែងរក