ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន គឺជាទ្រឹស្តីបទសិក្សាពីទំនាក់ទំនងរវាងរង្វាស់មេដ្យាននៃត្រីកោណនិងរង្វាស់ជ្រុងនិមួយៗរបស់វា។ ទ្រឹស្តីបទមេដ្យានជាករណីពិសេសរបស់ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem) ។

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ ABC ដែល AI ជារង្វាស់មេដ្យានគូសចេញពីកំពូល A ។ គេបានទំនាក់ដូចខាងក្រោម:

A B^{2} + A C^{2} = 2 B I^{2} + 2 A I^{2}

ឬ

A B^{2} + A C^{2} = \frac{1}{2} B C^{2} + 2 A I^{2}

បំណកស្រាយទ្រឹស្តីបទ

លក្ខណៈនេះជាករណីធម្មតាដោយការកាត់បន្ថយនៃអនុគមន៍ស្តាលែរលេបនីស្ស (scalar function of Leibniz):

A B^{2} + A C^{2} = (\vec{A I} + \vec{I B})^{2} + (\vec{A I} + \vec{I C})^{2}

គេពន្លាត:

A B^{2} + A C^{2} = A I^{2} + I B^{2} + 2 \vec{A I} . \vec{I B} + A I^{2} + I C^{2} + 2 \vec{A I} . \vec{I C}

ចំនុច I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] ដូចនេះ $\vec{I B}$ និង $\vec{I C}$ មានទិសដៅផ្ទុយគ្នា និង $I C^{2} = I B^{2}$ ដូច្នេះ

A B^{2} + A C^{2} = 2 A I^{2} + 2 I B^{2}

បំណកស្រាយម្យ៉ាងទៀត

តាង H ជាចំណោលនៃកំពស់ត្រីកោណពីកំពូល A មកលើជ្រុង BC ចែកត្រីកោណ ABC ជាពីរត្រីកោណកែង BHA និង AHC ។ ដោយអនុវត្តទ្រឹស្តីបទពីតាករ គេបាន

A B^{2} = B H^{2} + A H^{2}

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}

A I^{2} = I H^{2} + A H^{2}

ហេតុនេះ

A B^{2} + A C^{2} = B H^{2} + 2 A H^{2} + H C^{2}

ដោយសំដែង BH និង HC ជាអនុគមន៍នៃ BI និង IH (ដែល I ជាចំនុចគណ្តាលនៃ BC និង BI=IC) ។ កត់សំគាល់ផងដែរចំពោះករណីពិសេស ជើង H នៃកំពស់គូសចេញពីកំពូល A មកលើអង្កត់ [BI] នៅចន្លោះ B និង I ប៉ុន្តែវាផ្ទៀងផ្ទាត់គ្រប់ករណី

B H = B I - I H

H C = I C + I H = B I + I H

ជំនួសចូលក្នុងកន្សោមខាងលើ គេបាន

A B^{2} + A C^{2} = (B I - I H)^{2} + 2 A H^{2} + (B I + I H)^{2}

A B^{2} + A C^{2} = B I^{2} - 2 B I . I H + I H^{2} + 2 A H^{2} + B I^{2} + 2 B I . I H + I H^{2}

A B^{2} + A C^{2} = 2 B I^{2} + 2 I H^{2} + 2 A H^{2} = 2 B I^{2} + 2 (I H^{2} + A H^{2})

ឬគេអាចថា

I H^{2} + A H^{2} = A I^{2}

ដោយជំនួសវាចូលក្នុងសមីការខាងលើគេបាន

A B^{2} + A C^{2} = 2 B I^{2} + 2 A I^{2}

ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន

ជាមួយនឹងផលគុណស្កាលែរ: $A B^{2} - A C^{2} = 2 \vec{B C} . \vec{I H}$ ដែល H គឺជាចំណោលកែងនៃ A លើ (BC) ។

ដែលទំនាក់ទំនង $| A B^{2} - A C^{2} | = 2 B C \times I H$ (ទ្រឹស្តីបទទី៣នៃមេដ្យាន)។

តាមពិត: $A B^{2} - A C^{2} = (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{A B} - \vec{A C}) = 2 \vec{A I} . (\vec{A B} + \vec{C A}) = 2 \vec{A I} . \vec{C B}$

ចំណោលនៃ $\vec{A I}$ លើ $\vec{B C}$ គឺ $\vec{H I}$ ដែល $\vec{A I} \vec{C B} = \vec{H I} . \vec{C B} = \vec{B C} . \vec{I H}$ ។

ផលគុណស្កាលែរនៃពីរវ៉ិចទ័រស្របគ្នាគឺស្មើនឹង $B C \times I H$ ដែលមានទិសដៅផ្ទុយគ្នា។

ទំរង់វ៉ិចទ័រនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

បើ I ជាចំនុចកណ្តាល [BC] គេបាន : $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A I}$

លក្ខណៈទូទៅនៃទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

គេមានត្រីកោណ MBC ។ គេគូសបន្ទាត់មួយចេញពី M កាត់ជ្រុង [BC] ត្រង់ I ។ តាង $k = \frac{I C}{I B}$ គេបាន

$M I^{2} = \frac{k M B^{2} + M C^{2}}{1 + k} - (I B . I C)$

សូមមើលផងដែរ

មេដ្យាន
ច្បាប់ប្រលេឡូក្រាម (Parallelogram law)
ទ្រឹស្តីបទស្តេអាត (Stewart's theorem)
ទ្រឹស្តីបទអាប៉ូឡូនុស (Apollonius' theorem)
ទ្រឹស្តីបទឆិវ៉ា (Ceva's theorem)
ទ្រឹស្តីបទមេនេឡូស (Menelaus' theorem)

ទ្រឹស្តីបទមេដ្យាន

មាតិកា