អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់

អនុគមន៍ artanh

អនុគមន៍ច្រាស់នៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកគឺជាអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកក្រលាផ្ទៃ។ វាគណនាក្រលាផ្ទៃនៃបំណែករបស់អ៊ីពែបូលឯកតា $x^2-y^2=1$ ដែលជាវិធីដូចគ្នាចំពោះអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រច្រាស់ ក្នុងការគណនាប្រវែងធ្នូនៃបំណែកមួយនៅលើរង្វង់ឯកតា $x^2+y^2=1$។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ជាទូទៅវាត្រូវបានគេសរសេរកាត់ជា $arsinh,arcsinh$ ឬ $asinh$ (នៅក្នុងជំនាញវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ)។ $sin{h}^{-1}(x),cos{h}^{-1}(x)$ ជាដើមក៏ត្រូវបានគេប្រើប្រាស់ផងដែរ។

តំណាងលោការីត

សញ្ញានៃប្រមាណវិធីត្រូវបានផ្តល់និយមន័យនៅក្នុងប្លង់កុំផ្លិចដោយ៖

• $\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$
• $\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x-1}\sqrt{x+1})$
• $\mathrm{artanh}x=\ln \left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}\right)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
• $\mathrm{arcsch}x=\ln (\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x})$
• $\mathrm{arsech}x=\ln (\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x})$
• $\mathrm{arcoth}x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$

អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់ក្នុងប្លង់កុំផ្លិច

$\mathrm{arsinh}(z)$	$\mathrm{arcosh}(z)$	$\mathrm{artanh}(z)$	$\mathrm{arcoth}(z)$	$\mathrm{arsech}(z)$	$\mathrm{arcsch}(z)$

កន្សោមស៊េរី

កន្សោមស៊េរីអាចទទួលបានចំពោះអនុគមន៍ខាងលើ៖

$\mathrm{arsinh}x$

$=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arcosh}x$

$=\ln 2x-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\cdots )$

$=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-2n}}{(2n)},x>1$

$\mathrm{artanh}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arcsch}x=\mathrm{arsinh}{x}^{-1}$

$=x^{-1}-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^{-5}}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^{-7}}{7}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|<1$

$\mathrm{arsech}x=\mathrm{arcosh}{x}^{-1}$

$=\ln \frac{2}{x}-(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^2}{2}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^4}{4}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^6}{6}+\cdots )$

$=\ln \frac{2}{x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(-1{)}^n(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{x^{2n}}{2n},0<x\le 1$

$\mathrm{arcoth}x=\mathrm{artanh}{x}^{-1}$

$=x^{-1}+\frac{x^{-3}}{3}+\frac{x^{-5}}{5}+\frac{x^{-7}}{7}+\cdots$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-(2n+1)}}{(2n+1)},\left|x\right|>1$

កន្សោមអាស៊ីមតូចចំពោះ arsinh x គឺ

$\mathrm{arsinh}x=\ln 2x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{n-1}\frac{\left(2n-1\right)!!}{2n\left(2n\right)!!}\frac{1}{x^{2n}}$

ដេរីវេនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីកច្រាស់

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arsinh}x& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcosh}x& =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{artanh}x& =\frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcoth}x& =\frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arsech}x& =\frac{\mp 1}{x\sqrt{1-x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsch}x& =\frac{\mp 1}{x\sqrt{1+x^2}};\mathrm{\Re }\{x\}\gtrless 0\end{array}$

ឧទាហរណ៍មួយចំពោះដេរីវេ។ តាង $\theta =arsinhx$ គេបានៈ

$\frac{d\mathrm{arsinh}x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sinh \theta }=\frac{1}{\cosh \theta }=\frac{1}{\sqrt{1+{\sinh }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

សូមមើលផងដែរ

• តារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក
• អនុគមន៍អ៊ីពែបូលីក