ចំនុចប៊្រូការ

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

ចំនុចប្រ៊ូការ (Brocard points) ជាចំនុចពិសេសមួយក្នុងត្រីកោណ ដែលឈ្មោះរបស់វា​ត្រូវបានហៅ​ដោយយក​ឈ្មោះតាម​គណិតវិទូ​បារាំង ហង់រី ប្រ៊ូការ (Henri Brocard) (១៨៤៥ – ១៩២២) ។

និយមន័យ

ក្នុងត្រីកោណ ABC ដែលមានរង្វាស់ជ្រុង a; b; និង c កំពូល A; B​ និង C ក្នុងទិសដៅស្របនឹងទ្រនិចនាឡិកា ត្រូវតែអាចមានចំនុច P មួយ ដែលអង្កត់ $[AP];[BP]$ និង $[CP]$ បង្កើតបានមុំដូចគ្នា $\omega$ រៀងគ្នាជាមួយនឹងជ្រុង a; b និង c គឺ

$\mathrm{\angle }PAB=\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\omega$

ចំនុច P ត្រូវបានគេហៅថាចំនុចប្រ៊ូការទី១នៃត្រីកោណ ABC និងមុំ $\omega$ ត្រូវបានគេហៅថាមុំប្រ៊ូការ នៃត្រីកោណ ABC ។ មុំនេះផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការ៖

$\cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma$

ដែល $\alpha ;\beta ;\gamma$ គឺជាមុំនៃកំពូល A, B, C រៀងគ្នានៃត្រីកោណ ABC ។

ក៏មានផងដែរនូវចំនុចប្រ៊ូការទី២ Q ក្នុងត្រីកោណ ABC ដែលអង្កត់ $AQ;BQ$, និង $CQ$ បង្កើតជាមួយជ្រុង a b និង c រៀងគ្នាបានមុំស្មើគ្នា។ គេបាន

$\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$

សំគាល់៖ចំនុចប្រ៊ូការទី២មានមុំដូចគ្នានឹងចំនុចប្រ៊ូការទី១ដែរ

$\mathrm{\angle }PBC=\mathrm{\angle }PCA=\mathrm{\angle }PAB$ គឺដូចគ្នានឹង $\mathrm{\angle }QCB=\mathrm{\angle }QBA=\mathrm{\angle }QAC$

ចំនុចប្រ៊ូការ២​មានទាក់ទងគ្នាយ៉ាងជិតស្និទ​ទៅនឹងចំនុចប្រ៊ូការមួយផ្សេងទៀត។ តាមភាពខុសគ្នារវាងចំនុចប្រ៊ូការទី១ និង ចំនុចប្រ៊ូការទី២ គឺអាស្រ័យទៅតាមលំដាប់នៃការជ្រើសរើស​មុំ​ក្នុង​ត្រីកោណ ABC ។ ឧទាហរណ៍: ចំនុចប្រ៊ូការទី១នៃត្រីកោណ ABC គឺដូចគ្នានឹងចំនុចប្រ៊ូការទី២នៃត្រីកោណ ABC។

$\mathrm{\Omega }$ ជាចំនុចប្រ៊ូការទី១ និង ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ ជាចំនុចប្រ៊ូការទី២

គ្រប់មុំ $\widehat{\mathrm{\Omega }AB};\widehat{\mathrm{\Omega }BC};\widehat{\mathrm{\Omega }CA};\widehat{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }BA};\widehat{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }CB}$ និង $\widehat{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }AC}$ គឺស្មើគ្នានឹងមុំប្រ៊ូការនៃត្រីកោណ ABC $\omega$ និងអាចគណនាតាមរូបមន្ត:

$\tan \omega =\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$

ដែល $S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។

ក៏មានផងដែរនូវឈ្មោះបន្ទាត់ប្រ៊ូការដែលជាបន្ទាត់កាត់តាមកំពូលនៃត្រីកោណនឹងចំនុចប្រ៊ូការ។

កូអរដោនេបារីសង់នៃចំនុចប្រ៊ូការទី១គឺ $(\frac{ac}{b}:\frac{ba}{c}:\frac{cb}{a})$ និងកូអរដោនេបារីសង់នៃចំនុចប្រ៊ូការទី២គឺ $(\frac{ab}{c}:\frac{bc}{a}:\frac{ca}{b})$ ។