មុំប្រ៊ូការ

ទំព័រគំរូ:កណ្តាល

តាង $\mathrm{\Omega }$ ជាចំនុចប្រ៊ូការទី១នៃត្រីកោណ ABC ដែលមុំ $\widehat{\mathrm{\Omega }AB};\widehat{\mathrm{\Omega }BC};\widehat{\mathrm{\Omega }CA}$ ស្មើនឹង $\omega$ និង ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ ជាចំនុចប្រ៊ូការទី២ ដែលមុំ $\widehat{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }BA};\widehat{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }CB};\widehat{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }AC}$ ស្មើនឹង ${\omega }^{\prime }$ ។ នោះមុំ $\omega ={\omega }^{\prime }$ ហើយមុំនេះហៅថាមុំប្រ៊ូការ (Brocard Angle) ។

មុំប្រ៊ូការនៃត្រីកោណ ABC អោយដោយរូបមន្ត

$\begin{array}{cc}\cot \omega & =\cot A+\cot B+\cot C\\ & =\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\\ & =\frac{1+\cos A\cos B\cos C}{\sin A\sin B\sin C}\\ & =\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C}{2\sin A\sin B\sin C}\\ & =\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}\\ \end{array}$

• ${\csc }^2\omega ={\csc }^{2}A+{\csc }^{2}B+{\csc }^{2}C$

• $\sin \omega =\frac{2S}{\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2}}$

• ${\sin }^2\omega =\frac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)}{4(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2)}$

• ${\sin }^3\omega =\sin (A-\omega )\sin (B-\omega )\sin (C-\omega )$

• $\tan \omega =\frac{\sin A\sin B\sin C}{1+\cos A\cos B\cos C}$

ដែល $S$ ជាក្រលាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ។ A; B; C ជាមុំ និង a; b; c ជារង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នានៃត្រីកោណ ABC ។