អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេទី២

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេ២ជាអាំងតរក្រាលនៃអនុគមន៍ដែលមានរាង

$\int \frac{dx}{a+bx+c{x}^2}$

វាអាចគណនាដោយបំលែងភាគបែងជាទំរង់ការ៉េ

$\int \frac{dx}{a+bx+c{x}^2}=\frac{1}{c}\int \frac{dx}{{(x+\frac{b}{2c})}^2+(\frac{a}{c}-\frac{b^2}{4c^2})}$

ករណីឌីគ្រីមីណង់ជាចំនួនវិជ្ជមាន

ដោយសន្មតឌីគ្រីមីណង់ Δ = b² − 4ac ជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីនេះតាង u និង Aដោយ

$u=x+\frac{b}{2c}$

និង

$-A^2=\frac{\mathrm{\Delta }}{c}-\frac{b^2}{4c^2}=\frac{1}{4c^2}(4ac-b^2)$

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានដឺក្រេទី២អាចសរសេរ

$\int \frac{dx}{a+bx+c{x}^2}=\frac{1}{c}\int \frac{du}{u^2-A^2}=\frac{1}{c}\int \frac{du}{(u+A)(u-A)}$

ដោយពន្លាតប្រភាគ គេបាន

$\frac{1}{(u+A)(u-A)}=\frac{1}{2A}(\frac{1}{u-A}-\frac{1}{u+A})$

យើងបាន

$\frac{1}{c}\int \frac{du}{(u+A)(u-A)}=\frac{1}{2Ac}\ln \left(\frac{u-A}{u+A}\right)+\mathrm{K}$   (ដែល K ជាថេរអាំងតេក្រាល)

គេទទួលលទ្ធផលនៃអាំងតេក្រាលក្នុងករណី Delta; > 0 គឺ

$\int \frac{dx}{a+bx+c{x}^2}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}\ln \left(\frac{2cx+b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2cx+b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}\right)+\mathrm{K}$   (ដែល $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$)

ករណីឌីគ្រីមីណង់ជាចំនួនអវិជ្ជមាន

ដោយសន្មតឌីគ្រីមីណង់ Δ = b² − 4ac ជាចំនួនអវិជ្ជមាន។ តួទី២នៃប្រភាគ

$\int \frac{dx}{a+bx+c{x}^2}=\frac{1}{c}\int \frac{dx}{{(x+\frac{b}{2c})}^2+(\frac{a}{c}-\frac{b^2}{4c^2})}$

គឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ នោះអាំងតេក្រាលក្លាយជា

$\frac{1}{c}\int \frac{du}{u^2+A^2}$

$=\frac{1}{cA}\int \frac{du/A}{(u/A{)}^2+1}$

$=\frac{1}{cA}\int \frac{dw}{w^2+1}$

$=\frac{1}{cA}\arctan (w)+\mathrm{K}$

$=\frac{1}{cA}\arctan \left(\frac{u}{A}\right)+\mathrm{K}$

$=\frac{1}{c\sqrt{\frac{a}{c}-\frac{b^2}{4c^2}}}\arctan \left(\frac{x+\frac{b}{2c}}{\sqrt{\frac{a}{c}-\frac{b^2}{4c^2}}}\right)+\mathrm{K}$

$=\frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan \left(\frac{2cx+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)+\mathrm{K}$

ដែល K ជាចំនួនថេរ (ថេរអាំងតេក្រាល)