អាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រ

Si(x) (ក្រហម) and Ci(x) (ខៀវ)

ក្នុងគណិតវិទ្យា អាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រ(trigonometric integrals) គឺជាគ្រួសារនៃអាំងតេក្រាលដែលទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ អាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រគ្រឹះមួយចំនួន ត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងតារាងអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ ។

អាំងតេក្រាលស៊ីនុស

និយមន័យអាំតេក្រាលស៊ីនុសផ្សេងគ្នា គឺ

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$ គឺជាព្រីមីទីវនៃ$\sin x/x$ ដែលសូន្យចំពោះ $x=0$

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)$ គឺជាព្រីមីទីវនៃ$\sin x/x$ ដែលសូន្យចំពោះ $x=\mathrm{\infty }$

យើងបាន

$\mathrm{s}\mathrm{i}(x)=\mathrm{S}\mathrm{i}(x)-\frac{\pi }{2}$

ចំនាំ ៖ $\frac{\sin t}{t}$ គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុសកាឌីណាល់(sinc function) ហើយនិង អនុគមន៍បេស៊ែលស្វែរទីសូន្យ(the zeroth spherical Bessel function) ។

អាំងតេក្រាលកូស៊ីនុស

និយមន័យអាំតេក្រាលកូស៊ីនុសផ្សេងគ្នា គឺ

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cos t-1}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt$

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)$ គឺជាព្រីមីទីវនៃ $\cos x/x$ ដែលសូន្យចំពោះ $x=\mathrm{\infty }$ ។

យើងបាន

$\mathrm{c}\mathrm{i}(x)=\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{n}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{C}\mathrm{i}(x)$

អាំងតេក្រាលស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

អាំងតេក្រាស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក:

$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh t}{t}dt=\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{i}(x).$

អាំងតេក្រាលកូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក

អាំងតេក្រាលកូស៊ីនុសអ៊ីពែបូលីក:

$\mathrm{C}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}dt=\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}(x)$

ដែល $\gamma$ គឺជាចំនួនថេរអឺលែរ-ម៉ាសឆេរ៉ូនី(Euler-Mascheroni constant)​ ។

ពន្លាត

ពន្លាតជាច្រើនអាចត្រូវគេប្រើ ដើម្បីកំនត់តំលៃនៃអាំងតេក្រាលត្រីកោណមាត្រ ដោយផ្អែកលើតំលៃអាគុយម៉ង់ ។

ស៊េរីអាស៊ីមតូត (ចំពោះអាគុយម៉ង់ធំ)

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

ស៊េរីនេះគឺមិនទាល់(divergent) បើទោះបីជាអាចត្រូវគេប្រើ សំរាប់ប៉ាន់ស្មានតំលៃពិតប្រាកដត្រង់ $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)\gg 1$ ។

ស៊េរីទាល់(Convergent series)

$\mathrm{S}\mathrm{i}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}\pm \cdots$

$\mathrm{C}\mathrm{i}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}\mp \cdots$

ស៊េរីទាំងនេះទាល់ត្រង់គ្រប់ $x$ បើទោះបីចំពោះ​ $|x|\gg 1$ ការកំនត់តំលៃគឺយឺត និងមិនត្រឹមត្រូវ​ បើនៅគ្រប់ចំនុចទាំងអស់។

ទំនាក់ទំនងជាមួយអាំងតេក្រាលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃអាគុយម៉ង់និម្មិត

អនុគមន៍ ${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-zt)}{t}\mathrm{d}t,(\mathrm{R}\mathrm{e}(z)\ge 0)$ គឺត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ។ វាមានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និតនឹង Si និង Ci:

${\mathrm{E}}_1(\mathrm{i}x)=-\frac{\pi }{2}+\mathrm{S}\mathrm{i}(x)-\mathrm{i}\cdot \mathrm{C}\mathrm{i}(x),(x>0)$

ដោយ អនុគមន៍ដែលទាក់ទងនីមួយៗគឺជាវិភាគ លើកលែងតែផ្នែកដែលត្រូវគេកាត់ត្រង់តំលៃអវិជ្ជមាននៃអាគុយម៉ង់ ផ្ទៃនៃសុពលភាពនៃទំនាក់ទំនង គឺអាចមានដល់ $\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0$ ។ (ក្រៅពីតំលៃនេះ តួបន្ថែមដែលជាកត្តាអាំងតេក្រាលនៃ $\pi$ លេចចេញក្នុងកន្សោម)។