អនុគមន៍អយល័រ

ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុគមន៍​អយល័រជាអនុគមន៍ដែលមានទំរង់

$\varphi (q)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)$

ឈ្មោះរបស់វាត្រូវបានគេយកតាមឈ្មោះរបស់លោក លេអុងណា អយល័រ (Leonhard Euler) ។ វាជាឧទាហរណ៍ដ៏ពិសេសមួយរបស់ស៊េរីគុយ (q-series) ដែលេជាទំរង់ម៉ូឌុល និងវាជាឧទាហរណ៍ពិសេសនៃ​ទំនាក់ទំនងរវាង​បន្សំនិង​ការវិភាគកុំផ្លិច។

លក្ខណៈ

មេគុណ $p(k)$ ក្នុងស៊េរីម៉ាក្លូរីន (Maclaurin series) ចំពោះ $1/\varphi (q)$ កំនត់នូវចំនួននៃគ្រប់បំនែកទាំងអស់នៃ k ។ គឺថា

$\frac{1}{\varphi (q)}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}p(k)q^k$

ដែល$p(k)$ គឺជាអនុគមន៍បំនែកនៃ k ។

សញ្ញាណអយល័រគឺ

$\varphi (q)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{(3n^2-n)/2}$

ចូរកត់សំគាល់ថា $(3n^2-n)/2$ ជាចំនួនបញ្ចកោណ។

អនុគមន៍អយល័រគឺទាក់ទងនឹងអនុគមន៍អេតាដេដេគីន (Dedekind eta function) តាមរយៈសញ្ញាណរ៉ាម៉ានឹជេន (Ramanujan identity)

$\varphi (q)=q^{-1/24}\eta (\tau )$

ដែល $q=e^{2\pi i\tau }$ គឺជាការ៉េនៃណូម (nome)។

ចូរកត់សំគាល់ថាអនុគមន៍ទាំងពីរមានលក្ខណៈឆ្លុះនៃក្រុមម៉ូឌុល។