វិសមភាព AM-GM

នៅក្នុង គណិតវិទ្យា, វិសមភាព​មធ្យមនព្វន្ត និង មធ្យមធរណីមាត្រ​ ឬត្រូវបានហៅកាត់ថា វិសមភាព AM-GM, បាននិយាយថា មធ្យមនព្វន្តនៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានមួយក្រុម គឺ​តែងតែធំជាងឬស្មើទៅនឹង មធ្យមធរណីមាត្រ នៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានមួយក្រុមនោះជានិច្ច។ ជាងនេះទៅទៀតនោះ, មធ្យមទាំងពីរនេះអាចស្មើគ្នាទៅបានលុះត្រាតែ គ្រប់ធាតុនីមួយៗ (ចំនួន ពិតមិនអវិជ្ចមាននីមួយៗ)នៅក្នុងក្រុមចំនួននោះ មានតម្លៃស្មើគ្នាទាំងអស់។

ក្នុងឧទាហរណ៍សាមញ្ញតែមានសារៈសំខាន់នោះគឺ —ដូចជាក្នុងករណីមានច្រើនជាង ១អញ្ញតិ — ចំពោះចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានពីរគឺ ទំព័រគំរូ:Mvar និង ទំព័រគំរូ:Mvar, ដែលវិសមភាពខាងក្រោមនេះពិតជានិច្ច៖

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$

ដែលស្មើគ្នាលុះត្រាតែ ទំព័រគំរូ:Math ប៉ុណ្នោះ. ក្នុងករណីនេះយើងអាចឃើញយ៉ាងច្បាស់ពីការពិតដែលការ៉េនៃចំនួនពិតមួយតែងតែវិជ្ជមានជានិច្ច គួបផ្សំនឹងលក្ខណៈ ដ៏ពិតមួយទៀងនោះគឺ ទំព័រគំរូ:Math ដែលជាលក្ខណៈនៃ រូបមន្តពហុធា:

$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2=x^2+2xy+y^2-4xy=(x+y{)}^2-4xy$

ឬក៏អាចសរសេរជា ទំព័រគំរូ:Math, ដែលស្មើគ្នានៅពេល ទំព័រគំរូ:Math ឬពេល ទំព័រគំរូ:Math. ចំពោះការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រវិញ, ឧបមាថាយើងមាន ត្រីកោណមួយ ដែលមានជ្រុងប្រវែង ទំព័រគំរូ:Mvar និង ទំព័រគំរូ:Mvar, នោះ បរិមាត្រ របស់វាគឺ ទំព័រគំរូ:Math និង ក្រលាផ្ទៃ ទំព័រគំរូ:Mvar. ដូចគ្នានេះដែរ, ការ៉េ មួយដែលគ្រប់ជ្រុងរបស់វាសុទ្ឋតែមានប្រវែង ទំព័រគំរូ:Math មានបរិមាត្រស្មើនឹង ទំព័រគំរូ:Math និងមានក្រលាផ្ទៃដូចគ្នាទៅនឹងក្រលាផ្ទៃរបស់ត្រីកោណដែរ។ ករណីសាមញ្ញនៃវិសមភាព AM–GM ត្រូវបានអនុវត្តន៍លើបរិមាត្រគឺ ទំព័រគំរូ:Math និងបានបង្ហាញថាមានតែការ៉េនោះទេដែលមានបរិមាត្រតូចជាងគេក្នុងចំនោមត្រីកោណទាំងអស់ដែលមានក្រលាផ្ទៃប៉ុនគ្នានោះ។

ភាពទូទៅនៃវិសមភាព AM–GM ផ្ដោតសំខាន់ទៅលើភាពពិតនៃ លោការីត ធម្មជាតិ, ដែលអាចបម្លែងផលគុណទៅជាផលបូកបាននោះ, គឺជា is a អនុគមន៍ផតដាច់ខាត concave function​មួយ ហើយយើងអាចប្រើ វិសមភាព Jensen ដើម្បី ស្រាយបញ្ជាក់ជាទូទៅ នៃវិសមភាព AM-GM នេះផងដែរ។

Extensions of the AM–GM inequality are available to include weights or generalized means.

ប្រវត្តិ ឬ ព្រឹត្តិការណ៍ទាក់ទង

មធ្យមពិជគណិត ឬនិយាយសាមញ្ញថា មធ្យម​ នៃ ទំព័រគំរូ:Mvar ចំនួន ទំព័រគំរូ:Math គឺជាផលបូកនៃចំនួនទាំងអស់នោះ ចែកនឹង ទំព័រគំរូ:Mvar។

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}.$

មធ្យមធរណីមាត្រ មានភាពស្រដៀងគ្នា, ប៉ុន្តែវាមានន័យលុះត្រាតែចំនួនទាំងអស់គឺជា ចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមានតែប៉ុណ្ណោះ ហើយប្រើប្រាស់នូវ ការគុណ និង ឬស ចំនួសឲ្យ ការបូក និង ការចែក។

$\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}.$

ករណី ទំព័រគំរូ:Math,វាស្មើទៅនឹង អ៊ិចស្ប៉ូណង់ស្យែល នៃមធ្យមពិជគណិតរបស់​ លោការីត ធម្មជាតិ នៃចំនួនទាំងនោះ:

$\exp \left(\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n}{n}\right).$

វិសមភាព AM-GM

បញ្ជាក់សារជាថ្មីដោយប្រើប្រាស់សញ្ញាក្នុងគណិតវិទ្យា, ចំពោះ ទំព័រគំរូ:Mvar ចំនួននៃចំនួនពិតមិនអវិជ្ជមាន ទំព័រគំរូ:Math, យើងបានៈ

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n},$

ហើយវិសមភាពនេះក្លាយជា សមភាព លុះត្រាតែៈ ទំព័រគំរូ:Math.

ការពន្យល់តាមបែបធរណីមាត្រ

នៅក្នុង 2 វិមាត្រ , ទំព័រគំរូ:Math ជាបរិមាត្រ នៃចតុកោណកែងមួយដែលមានជ្រុងប្រវែង ទំព័រគំរូ:Math និង ទំព័រគំរូ:Math។ ដួចគ្នានេះដែរ ទំព័រគំរូ:Math គឺជាបរិមាត្រនៃការ៉េមួយដែលមាន ក្រលាផ្ទៃ ដូចគ្នា. ដូចនេះ ចំពោះ ទំព័រគំរូ:Math វិសមភាព AM–GM បានបញ្ជាក់ថា មានតែ ការ៉ប៉ុណ្ណោះដែលមានបរិមាត្រតូចជាងគេទាំងអស់ ក្នុងចំនោមចតុកោណកែងដែលមានក្រលាផ្ទៃប៉ុនគ្នា។

ភាពពេញលេញនៃវិសមភាពនេះ គឺជាការពង្រីកទៅលើគំនិតនេះ ទៅដល់ ទំព័រគំរូ:Mvar វិមាត្រ។ គ្រប់កំពូលទាំងអស់នៃប្រអប់ដែលមាន ទំព័រគំរូ:Mvar​ វិមាត្រគឺត្រូវបានភ្ជាប់ទៅនឹង ទំព័រគំរូ:Mvar គែម។ ប្រសិនបើប្រវែងនៃគែមទាំងនោះគឺ​ទំព័រគំរូ:Mathនោះ ទំព័រគំរូ:Math គឺជាប្រវែងសរុបនៃគែមទាំងអស់នោះត្រូវគ្នាទៅនឹងកំពូលនៃប្រអប់នោះ។ យើងមាន ទំព័រគំរូ:Math កំពូល ដូចនេះយើងត្រូវគុណនឹង ទំព័រគំរូ:Math; ព្រោះថាគែមនីមួយៗត្រូវប៉ះទៅនឹងកំពូលពីរ ជានិច្ច ដែលធ្វើឲ្យគ្រប់គែមទាំងអស់ត្រូវបានរាប់ចំនួនពីរដង។ ដូច្នេះយើងចែកនឹង ទំព័រគំរូ:Math ហើយសន្មត់ថាយើងមាន ទំព័រគំរូ:Math ជ្រុង។ ដោយសារតែចាមានគែមជាច្រើនដែលមានប្រវែងស្មើៗគ្នា និង ទំព័រគំរូ:Mvar ជ្រុង; ដូចនេះយើងមាន ទំព័រគំរូ:Math គែមនៃប្រវែងនីមួយៗនិងប្រវែងសរុបនៃប្រវែងរបស់គែមទាំងអស់នោះគឺ ទំព័រគំរូ:Math។ ម្យ៉ាងទៀតៈ

$2^{n-1}n\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

គឺជាប្រវែងសរុបនៃគែមដែឡភ្ជាប់ទៅនឹងកំពូលមួយនៅលើគូបនៅក្នុង ទំព័រគំរូ:Mvar-វិមាត្រដែលមានមាឌប៉ុនគ្នា។​​ យោងទៅតាមវិសមភាពដែលបានចែងថាៈ

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n},$

យើងទទួលបាន

$2^{n-1}(x_1+x_2+\cdots +x_n)\ge 2^{n-1}n\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

ដែលសមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែៈ ទំព័រគំរូ:Math.

ដូច្នេះ វិសមភាព AM–GM បញ្ជាក់ថាមានតែ [[Hypercube|ទំព័រគំរូ:Mvar-គូប]] ប៉ុណ្ណោះដែលមានផលបូកនៃប្រវែងសរុបរបស់គែមដែលភ្ជាប់ទៅនឹងកំពូលនីមួយៗ ទាំងអស់មានតម្លៃតូចជាងគេ ក្នុងចំនោមប្រអប់ដែលមានមាឌ ប៉ុនគ្នាទាំងអស់នៅក្នុង ទំព័រគំរូ:Mvar-វិមាត្រ។

ឩទាហរណ៍អំពីការប្រើប្រាស់

ឩបមាថាយើងមានអនុគមន៍ដូចខាងក្រោមៈ

$f(x,y,z)=\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x}}$

ចំពោះគ្រប់ចំនួនពិតវិជ្ជមាន ទំព័រគំរូ:Mvar, ទំព័រគំរូ:Mvar និង ទំព័រគំរូ:Mvar. ហើយយើងចង់រកនូវតម្លៃតូចបំផុតនៃ អនុគមន៍មួយនេះ។ ដូចនេះ ជាដំបូងយើងត្រូចសរសេរវាសារជាថ្មីឲ្យទៅជារាងដូចខាងក្រោមៈ

$\begin{array}{cc}f(x,y,z)& =6\cdot \frac{\frac{x}{y}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}}{6}\\ & =6\cdot \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6}\end{array}$

ដែល

$x_1=\frac{x}{y},x_2=x_3=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}},x_4=x_5=x_6=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}.$

ដោយប្រើប្រាស់នូវ វិសមភាព AM–GM ចំពោះ ទំព័រគំរូ:Math, យើងបានៈ

$\begin{array}{cc}f(x,y,z)& \ge 6\cdot \sqrt[6]{\frac{x}{y}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}\cdot \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\cdot \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}\cdot \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}}\\ & =6\cdot \sqrt[6]{\frac{1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}\frac{x}{y}\frac{y}{z}\frac{z}{x}}\\ & =2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{array}$

ជាងនេះទៅទៀត, យើងដឹងថាអង្គទាំងពីរនៃវិសមភាពនេះស្មើគ្នាទៅបានលុះត្រាតែ គ្រប់តួទាំងអស់មានតម្លៃស្មើគ្នា គឺៈ

$f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}$ នៅពេល $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{z}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{z}{x}}$ ។

គ្រប់ចំនុច ទំព័រគំរូ:Math ដែលផ្ទៀងផ្ទាត់នូវលក្ខ័ណ្ឌនេះសុទ្ធតែ ស្ថិតនៅលើកន្លះបន្ទាត់កាត់តាមគល់តម្រុយ និងមាន​សមីការៈ

$(x,y,z)=(x,\sqrt[3]{2}\sqrt{3}x,\frac{3\sqrt{3}}{2}x)$ ដែល x > 0 ។

ការអនុវត្តន៍ប្រើប្រាស់

ការប្រើប្រាស់ដ៏សំខាន់មួយនៃវិសមភាពនេះ គឺនៅក្នុង គណិតវិទ្យាខាងផ្នែកហិរញ្ញវត្ថុ គឺត្រូវបានយកទៅប្រើប្រាស់ដើម្បីគណនា អត្រានៃប្រាក់ចំនេញ: ប្រាក់ចំនេញប្រចាំឆ្នាំ, ដោយបានគណនាតាមមធ្យមធរណីមាត្រ គឺមានតម្លៃទាបជាងប្រាក់ចំនេញប្រចាំឆ្នាំគិតជាមធ្យមដែលគណនាតាម មធ្យមពិជគណិត (ឬក៏អាចស្មើបើប្រាក់ចំនេញទាំងនោះមានតម្លៃស្មើគ្នា)។ វាសំខាន់ណាស់នៅក្នុងការវិភាគទៅលើ ការធ្វើវិនិយោគទុនដូចនេះ ព្រោះថាប្រាក់ចំនេញជាមធ្យម "as the average return overstates the cumulative effect."

សម្រាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាព AM–GM

យើងមានរបៀបក្នុងការស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាព AM–GM នេះ; ឧទាហរណ៍ដូចជា, វាអាចស្រាយបញ្ជាក់ដោយប្រើប្រាស់ វិសមភាព Jensen, ដោយប្រើប្រាស់នូវអនុគមន៍ផត ln(ទំព័រគំរូ:Mvar)។ យើងក៏អាចស្រាយបញ្ជាក់វាតាម វិសមភាពតំរៀប។ ផ្តោតទៅលើប្រវែងនិងតម្រូវការ, ការស្រាយបញ្ជាក់តាមកំនើនវាចារ ខាងក្រោមប្រហែលជា ជាការស្រាយបញ្ជាក់ដ៍ល្អមយួៈ

គំនិតនៃការស្រាយបញ្ជាក់ដំបូងទាំងពីរ

យើងត្រូវតែស្រាយបញ្ជាក់ថាៈ

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

ដែលសមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែគ្រប់ចំនួនទាំងអស់ស្មើគ្នា។ បើ ទំព័រគំរូ:Math, យើងជំនួស ទំព័រគំរូ:Mvar និង ទំព័រគំរូ:Mvar ដោយ ទំព័រគំរូ:Math នឹងធ្វើឲ្យមធ្យមនព្វន្តដែលនៅខាងឆ្វេងដៃ មិនមានការប្រែប្រួល តែវានឹងធ្វើឲ្យមធ្យមធរណីមាត្រដែលនៅខាងស្ដាំដៃមានការកើនឡើង ព្រោះ ៖

$(\frac{x_i+x_j}{2}{)}^2-x_i{x}_j=(\frac{x_i-x_j}{2}{)}^2>0.$

ដូចនេះអង្គខាងស្ដាំនឹង ធំជាងគេ — ដូចនេះគំនិតគឺថា — នៅពេលដែលគ្រប់ ទំព័រគំរូ:Mvar ទាំងអស់មានតម្លៃស្មើទៅនឹងមធ្យមនព្វន្ត ៖

$\alpha =\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n},$

ដូចនេះ ខាងក្រោមនេះគឺជាតម្លៃធំជាងគេនៃអង្គខាងស្ដាំ គឺ៖

$\frac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}=\alpha =\sqrt[n]{\alpha \alpha \dots \alpha }\ge \sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}.$

ការស្រាយបញ្ជាក់នេះគឺពិតចំពោះករណី ទំព័រគំរូ:Math តែដំណើរការក្នុងការយកមធ្យមនៃគូរចំនួនដែលស្រដៀងគ្នា អាចឈានទៅរកភាពបរាជ័យក្នុងការបង្កើតនូវ ទំព័រគំរូ:Mvar ចំនួនដែលស្មើគ្នា ក្នុងករណី ទំព័រគំរូ:Math។ ជាឧទាហរណ៍មួយក្នុងករណីនេះ គឺ ទំព័រគំរូ:Math: ដោយរកមធ្យមនៃចំនួនពីរដែលខុសគ្នាអាចនឹងបង្កើតបាន ចំនួនពីរដែលមានតម្លៃស្មើគ្នា ប៉ុន្តែ ចំនួនទី បី គឺនៅតែខុសគ្នាដដែល។ ដូចនេះ តាមពិតទៅ យើងមិនដែលទទួលបាននៅ វិសមភាពដែលមាន មធ្យមធរណីមាត្រដែលកើតពី ចំនួន៣ ដែលស្មើគ្នា នោះទេ។

ដូច្នេះ ល្បិចមួយទៀតដែលត្រូវប្រើនោះ គឺ ត្រូវតែបង្វែរ គំនិតខាងលើនេះឲ្យទៅជា ការស្រាយបញ្ជាក់ដ៏មានប្រសិទ្ធិ៍ភាពមួយ ចំពោះករណី ទំព័រគំរូ:Math។

Hard proof by induction

With the arithmetic mean

$\alpha =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}$

of the non-negative real numbers ទំព័រគំរូ:Math, the AM–GM statement is equivalent to

${\alpha }^n\ge x_1{x}_2\cdots x_n$

with equality if and only if ទំព័រគំរូ:Math for all ទំព័រគំរូ:Math}.

For the following proof we apply mathematical induction and only well-known rules of arithmetic.

Induction basis: For ទំព័រគំរូ:Math the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of ទំព័រគំរូ:Mvar non-negative real numbers.

Induction step: Consider ទំព័រគំរូ:Math non-negative real numbers. Their arithmetic mean ទំព័រគំរូ:Mvar satisfies

$(n+1)\alpha =x_1+\cdots +x_n+x_{n+1}.$

If all numbers are equal to ទំព័រគំរូ:Mvar, then we have equality in the AM–GM statement and we are done. Otherwise we may find one number that is greater than ទំព័រគំរូ:Mvar and one that is smaller than ទំព័រគំរូ:Mvar, say ទំព័រគំរូ:Math and ទំព័រគំរូ:Math. Then

$(x_n-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0.(*)$

Now consider the ទំព័រគំរូ:Mvar numbers ទំព័រគំរូ:Math with

$y:=x_n+x_{n+1}-\alpha \ge x_n-\alpha >0,$

which are also non-negative. Since

$n\alpha =x_1+\cdots +x_{n-1}+\underset{=y}{\underbrace{x_n+x_{n+1}-\alpha }},$

ទំព័រគំរូ:Mvar is also the arithmetic mean of ទំព័រគំរូ:Mvar numbers ទំព័រគំរូ:Math and the induction hypothesis implies

${\alpha }^{n+1}={\alpha }^n\cdot \alpha \ge x_1{x}_2\cdots x_{n-1}y\cdot \alpha .(**)$

Due to (*) we know that

$(\underset{=y}{\underbrace{x_n+x_{n+1}-\alpha }})\alpha -x_n{x}_{n+1}=(x_n-\alpha )(\alpha -x_{n+1})>0,$

hence

$y\alpha >x_n{x}_{n+1},(***)$

in particular ទំព័រគំរូ:Math. Therefore, if at least one of the numbers ទំព័រគំរូ:Math is zero, then we already have strict inequality in (**). Otherwise the right-hand side of (**) is positive and strict inequality is obtained by using the estimate (***) to get a lower bound of the right-hand side of (**). Thus, in both cases we get

${\alpha }^{n+1}>x_1{x}_2\cdots x_{n-1}{x}_n{x}_{n+1},$

which completes the proof.

Proof by Cauchy using forward-backward-induction

The following proof by cases relies directly on well-known rules of arithmetic but employs the rarely used technique of forward-backward-induction. It is essentially from Augustin Louis Cauchy and can be found in his Cours d'analyse.

The case where all the terms are equal

If all the terms are equal:

$x_1=x_2=\cdots =x_n,$

then their sum is ទំព័រគំរូ:Math, so their arithmetic mean is ទំព័រគំរូ:Math; and their product is ទំព័រគំរូ:Math, so their geometric mean is ទំព័រគំរូ:Math; therefore, the arithmetic mean and geometric mean are equal, as desired.

The case where not all the terms are equal

It remains to show that if not all the terms are equal, then the arithmetic mean is greater than the geometric mean. Clearly, this is only possible when ទំព័រគំរូ:Math.

This case is significantly more complex, and we divide it into subcases.

The subcase where n = 2

If ទំព័រគំរូ:Math, then we have two terms, ទំព័រគំរូ:Math and ទំព័រគំរូ:Math, and since (by our assumption) not all terms are equal, we have:

$\begin{array}{cc}(\frac{x_1+x_2}{2}{)}^2-x_1{x}_2& =\frac{1}{4}(x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2)-x_1{x}_2\\ & =\frac{1}{4}(x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2)\\ & =(\frac{x_1-x_2}{2}{)}^2>0,\end{array}$

hence

$\frac{x_1+x_2}{2}>\sqrt{x_1{x}_2}$

as desired.

The subcase where n = 2^k

Consider the case where ទំព័រគំរូ:Math, where ទំព័រគំរូ:Mvar is a positive integer. We proceed by mathematical induction.

In the base case, ទំព័រគំរូ:Math, so ទំព័រគំរូ:Math. We have already shown that the inequality holds when ទំព័រគំរូ:Math, so we are done.

Now, suppose that for a given ទំព័រគំរូ:Math, we have already shown that the inequality holds for ទំព័រគំរូ:Math, and we wish to show that it holds for ទំព័រគំរូ:Math. To do so, we apply the inequality twice for ទំព័រគំរូ:Math numbers and once for ទំព័រគំរូ:Math numbers to obtain:

$\begin{array}{cc}\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^k}}{2^k}& =\frac{\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}+\frac{x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2}\\ & \ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1{x}_2\cdots x_{2^{k-1}}}+\sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1}{x}_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^k}}}{2}\\ & \ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1{x}_2\cdots x_{2^{k-1}}}\sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1}+1}{x}_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^k}}}\\ & =\sqrt[2^k]{x_1{x}_2\cdots x_{2^k}}\end{array}$

where in the first inequality, the two sides are equal only if

$x_1=x_2=\cdots =x_{2^{k-1}}$

and

$x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^k}$

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to ទំព័រគំរូ:Math, and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean); and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all ទំព័រគំរូ:Math numbers are equal, it is not possible for both inequalities to be equalities, so we know that:

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{2^k}}{2^k}>\sqrt[2^k]{x_1{x}_2\cdots x_{2^k}}$

as desired.

The subcase where n < 2^k

If ទំព័រគំរូ:Mvar is not a natural power of ទំព័រគំរូ:Math, then it is certainly less than some natural power of 2, since the sequence ទំព័រគំរូ:Math is unbounded above. Therefore, without loss of generality, let ទំព័រគំរូ:Mvar be some natural power of ទំព័រគំរូ:Math that is greater than ទំព័រគំរូ:Mvar.

So, if we have ទំព័រគំរូ:Mvar terms, then let us denote their arithmetic mean by ទំព័រគំរូ:Mvar, and expand our list of terms thus:

$x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_m=\alpha .$

We then have:

$\begin{array}{cc}\alpha & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\\ & =\frac{\frac{m}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)}{m}\\ & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+\frac{m-n}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n)}{m}\\ & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+(m-n)\alpha }{m}\\ & =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n+x_{n+1}+\cdots +x_m}{m}\\ & >\sqrt[m]{x_1{x}_2\cdots x_n{x}_{n+1}\cdots x_m}\\ & =\sqrt[m]{x_1{x}_2\cdots x_n{\alpha }^{m-n}},\end{array}$

so

${\alpha }^m>x_1{x}_2\cdots x_n{\alpha }^{m-n}$

and

$\alpha >\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$

as desired.

Proof by induction using basic calculus

The following proof uses mathematical induction and some basic differential calculus.

Induction basis: For ទំព័រគំរូ:Math the statement is true with equality.

Induction hypothesis: Suppose that the AM–GM statement holds for all choices of ទំព័រគំរូ:Mvar non-negative real numbers.

Induction step: In order to prove the statement for ទំព័រគំរូ:Math non-negative real numbers ទំព័រគំរូ:Math, we need to prove that

$\frac{x_1+\cdots +x_n+x_{n+1}}{n+1}-(x_1\cdots x_n{x}_{n+1}{)}^{\frac{1}{n+1}}\ge 0$

with equality only if all the ទំព័រគំរូ:Math numbers are equal.

If all numbers are zero, the inequality holds with equality. If some but not all numbers are zero, we have strict inequality. Therefore, we may assume in the following, that all ទំព័រគំរូ:Math numbers are positive.

We consider the last number ទំព័រគំរូ:Math as a variable and define the function

$f(t)=\frac{x_1+\cdots +x_n+t}{n+1}-(x_1\cdots x_{n}t{)}^{\frac{1}{n+1}},t>0.$

Proving the induction step is equivalent to showing that ទំព័រគំរូ:Math for all ទំព័រគំរូ:Math, with ទំព័រគំរូ:Math only if ទំព័រគំរូ:Math and ទំព័រគំរូ:Mvar are all equal. This can be done by analyzing the critical points of ទំព័រគំរូ:Mvar using some basic calculus.

The first derivative of ទំព័រគំរូ:Mvar is given by

$f^{\prime }(t)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n+1}}{t}^{-\frac{n}{n+1}},t>0.$

A critical point ទំព័រគំរូ:Math has to satisfy ទំព័រគំរូ:Math, which means

$(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n+1}}{t}_0^{-\frac{n}{n+1}}=1.$

After a small rearrangement we get

$t_0^{\frac{n}{n+1}}=(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n+1}},$

and finally

$t_0=(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}},$

which is the geometric mean of ទំព័រគំរូ:Math. This is the only critical point of ទំព័រគំរូ:Mvar. Since ទំព័រគំរូ:Math for all ទំព័រគំរូ:Math, the function ទំព័រគំរូ:Mvar is strictly convex and has a strict global minimum at ទំព័រគំរូ:Math. Next we compute the value of the function at this global minimum:

$\begin{array}{cc}f(t_0)& =\frac{x_1+\cdots +x_n+(x_1\cdots x_n{)}^{1/n}}{n+1}-(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n+1}}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n(n+1)}}\\ & =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n+1}+\frac{1}{n+1}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}-(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\\ & =\frac{x_1+\cdots +x_n}{n+1}-\frac{n}{n+1}(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\\ & =\frac{n}{n+1}(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}-(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}})\ge 0,\end{array}.$

where the final inequality holds due to the induction hypothesis. The hypothesis also says that we can have equality only when ទំព័រគំរូ:Math are all equal. In this case, their geometric mean  ទំព័រគំរូ:Math has the same value, Hence, unless ទំព័រគំរូ:Math are all equal, we have ទំព័រគំរូ:Math. This completes the proof.

This technique can be used in the same manner to prove the generalized AM–GM inequality and Cauchy–Schwarz inequality in Euclidean space ទំព័រគំរូ:Math.

Proof by Pólya using the exponential function

George Pólya provided a proof similar to what follows. Let ទំព័រគំរូ:Math for all real ទំព័រគំរូ:Mvar, with first derivative ទំព័រគំរូ:Math and second derivative ទំព័រគំរូ:Math. Observe that ទំព័រគំរូ:Math, ទំព័រគំរូ:Math and ទំព័រគំរូ:Math for all real ទំព័រគំរូ:Mvar, hence ទំព័រគំរូ:Mvar is strictly convex with the absolute minimum at ទំព័រគំរូ:Math. Hence ទំព័រគំរូ:Math for all real ទំព័រគំរូ:Mvar with equality only for ទំព័រគំរូ:Math.

Consider a list of non-negative real numbers ទំព័រគំរូ:Math. If they are all zero, then the AM–GM inequality holds with equality. Hence we may assume in the following for their arithmetic mean ទំព័រគំរូ:Math. By ទំព័រគំរូ:Mvar-fold application of the above inequality, we obtain that

$\begin{array}{cc}\frac{x_1}{\alpha }\frac{x_2}{\alpha }\cdots \frac{x_n}{\alpha }& \le e^{\frac{x_1}{\alpha }-1}{e}^{\frac{x_2}{\alpha }-1}\cdots e^{\frac{x_n}{\alpha }-1}\\ & =\exp (\frac{x_1}{\alpha }-1+\frac{x_2}{\alpha }-1+\cdots +\frac{x_n}{\alpha }-1),(*)\end{array}$

with equality if and only if ទំព័រគំរូ:Math for every ទំព័រគំរូ:Math. The argument of the exponential function can be simplified:

$\begin{array}{cc}\frac{x_1}{\alpha }-1+\frac{x_2}{\alpha }-1+\cdots +\frac{x_n}{\alpha }-1& =\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{\alpha }-n\\ & =n-n\\ & =0.\end{array}$

Returning to ទំព័រគំរូ:Math,

$\frac{x_1{x}_2\cdots x_n}{{\alpha }^n}\le e^0=1,$

which produces ទំព័រគំរូ:Math, hence the result

$\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}\le \alpha .$

Generalizations

Weighted AM–GM inequality

There is a similar inequality for the weighted arithmetic mean and weighted geometric mean. Specifically, let the nonnegative numbers ទំព័រគំរូ:Math and the nonnegative weights ទំព័រគំរូ:Math be given. Set ទំព័រគំរូ:Math. If ទំព័រគំរូ:Math, then the inequality

$\frac{w_1{x}_1+w_2{x}_2+\cdots +w_n{x}_n}{w}\ge \sqrt[w]{x_1^{w_1}{x}_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}$

holds with equality if and only if all the ទំព័រគំរូ:Mvar with ទំព័រគំរូ:Math are equal. Here the convention ទំព័រគំរូ:Math is used.

If all ទំព័រគំរូ:Math, this reduces to the above inequality of arithmetic and geometric means.

Proof using Jensen's inequality

Using the finite form of Jensen's inequality for the natural logarithm, we can prove the inequality between the weighted arithmetic mean and the weighted geometric mean stated above.

Since an ទំព័រគំរូ:Mvar with weight ទំព័រគំរូ:Math has no influence on the inequality, we may assume in the following that all weights are positive. If all ទំព័រគំរូ:Mvar are equal, then equality holds. Therefore, it remains to prove strict inequality if they are not all equal, which we will assume in the following, too. If at least one ទំព័រគំរូ:Mvar is zero (but not all), then the weighted geometric mean is zero, while the weighted arithmetic mean is positive, hence strict inequality holds. Therefore, we may assume also that all ទំព័រគំរូ:Mvar are positive.

Since the natural logarithm is strictly concave, the finite form of Jensen's inequality and the functional equations of the natural logarithm imply

$\begin{array}{cc}\ln \left(\frac{w_1{x}_1+\cdots +w_n{x}_n}{w}\right)& >\frac{w_1}{w}\ln x_1+\cdots +\frac{w_n}{w}\ln x_n\\ & =\ln \sqrt[w]{x_1^{w_1}{x}_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}.\end{array}$

Since the natural logarithm is strictly increasing,

$\frac{w_1{x}_1+\cdots +w_n{x}_n}{w}>\sqrt[w]{x_1^{w_1}{x}_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}.$

Other generalizations

Other generalizations of the inequality of arithmetic and geometric means include:

• Muirhead's inequality,
• Maclaurin's inequality,
• Generalized mean inequality.

See also

• Ky Fan inequality
• Young's inequality

External links

• ទំព័រគំរូ:Cite web

Category:Inequalities Category:Means Category:Articles containing proofs