វិសមភាព វេតស្សឹនបុក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពវេតស្សឹនបុក(Weitzenböck's inequality)និយាយចំពោះជ្រុង$a$, $b$, $c$ និង​ផ្ទៃ$\mathrm{\Delta }$ នៃត្រីកោណមួយ។​ វិសមភាពសំដែងដោយ​៖

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}\mathrm{\Delta }$

សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ ត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស​។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាពនេះ គឺត្រូវបានដាក់ជាសំនួរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអូឡាំព្យាឆ្នាំ១៩៦១។ លទ្ធផលគឺមិនពិបាកណាស់ណាទេ ដោយប្រើរូបមន្តហេរុងចំពោះផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ។

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}\end{array}$

វិធីសាស្រ្តទី១

$\begin{array}{cc}& (a^2-b^2{)}^2+(b^2-c^2{)}^2+(c^2-a^2{)}^2\ge 0\\ ⟺& 2(a^4+b^4+c^4)-2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)\ge 0\\ ⟺& \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3}\ge \frac{4(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)}{3}\\ ⟺& \frac{(a^4+b^4+c^4)+2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)}{3}\ge 2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)\\ ⟺& \frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{3}\ge (4\mathrm{\Delta }{)}^2\end{array}$

លទ្ធផលទទួលបានដោយគ្រាន់តែបំពាក់ឫសការេលើអង្គទាំង២ ។ ចំពោះវិសមភាពទី១ យើងឃើញថា សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល $a=b=c$ ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

វិធីសាស្រ្តទី២

$\begin{array}{cccccc}& & a^2+b^2+c^2& \ge & & ab+bc+ca\\ ⟺& & 3(a^2+b^2+c^2)& \ge & & (a+b+c{)}^2\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & \sqrt{3(a+b+c){\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3}\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & \sqrt{3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ ⟺& & a^2+b^2+c^2& \ge & & 4\sqrt{3}\mathrm{\Delta }\end{array}$

សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a = b = c ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។