វិសមភាព យិនសិន

នៅក្នងគណិតវិទ្យា វិសមភាព យិនសិន (Jensin's inequality) ត្រូវបានយកឈ្មោះបន្ទាប់ពីឈ្មោះរបស់លោក យូហាន យិនសិន (Juhan Jensen)។ វិសមភាពនេះនិយាយទាក់ទងទៅភាពប៉ោងនិងភាពផតនៃអនុគមន៍ ហើយវិសមភាពត្រូវបានស្រាយបញ្ជាក់ដោយលោក យិនសិន នៅឆ្នាំ 1906 ដែលលោកបានអោយនូវលក្ខណៈទូទៅរបស់វា។ វិសមភាពនេះបានចែងដូចខាងក្រោមៈ

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើចន្លោះ $𝕀(a,b)$ និងចំពោះ $x_1,x_2,...,x_n\in 𝕀(a,b)$ គេបានៈ

$\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}\ge f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})$

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ផតលើចន្លោះ $𝕀(a,b)$ និងចំពោះ $x_1,x_2,...,x_n\in 𝕀(a,b)$ គេបានៈ

$\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}\le f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n})$

វិមសភាពនេះត្រូវបានអោយក្រោមទំរង់ទូទៅដូចខាងក្រោមៈ

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើចន្លោះ $𝕀(a,b)$ និងចំពោះ $x_1,x_2,...,x_n\in 𝕀(a,b)$ និងចំពោះ ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n>0;\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1;\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{*}}$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(x_i)\ge f(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i)$

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ផតលើចន្លោះ $𝕀(a,b)$ និងចំពោះ $x_1,x_2,...,x_n\in 𝕀(a,b)$ និងចំពោះ ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n>0;\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1;\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{*}}$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(x_i)\le f(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i)$

ឬក៏គេអាចសរសេរនូវរាងមួយទៀតគឺៈ

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ប៉ោងលើចន្លោះ $𝕀(a,b)$ និងចំពោះ $x_1,x_2,...,x_n\in 𝕀(a,b)$ និងចំពោះ ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n>0;\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{*}}$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^n\left(\frac{{\alpha }_{i}f(x_i)}{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i}\right)\ge f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i}\right)$

• ចំពោះអនុគមន៍ $f$ ជាអនុគមន៍ផតលើចន្លោះ $𝕀(a,b)$ និងចំពោះ $x_1,x_2,...,x_n\in 𝕀(a,b)$ និងចំពោះ ${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n>0;\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{*}}$ គេបានៈ

$\sum _{i=1}^n\left(\frac{{\alpha }_{i}f(x_i)}{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i}\right)\le f\left(\frac{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{\alpha }_i}\right)$

• ចំណាំៈ $\sum _{i=1}^n{x}_i=x_1+x_2+...+x_n$