វិសមភាព កុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ

វិសមភាពកុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ (Kolgomorov's inequality) គឺជាវិសមភាពមួយដែលអោយទំនាក់ទំនង ក្នុងអនុគមន៍មួយ និងដេរវេទី១ ទី២របស់វា។ ខាងក្រោមនេះជាពំនោលរបស់វិសមភាពកុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ៖

តាង $f : ℝ \to ℝ$ ជាអនុគមន៍មានដេរីវេពីរដងនៅលើ $ℝ$ គឺ $f$ និង $f^{″}$ កំនត់លើ $ℝ$ ។ ចង្អុលបង្ហាញ

M_{0} = \sup_{x \in ℝ} | f (x) |, M_{1} = \sup_{x \in ℝ} | f^{'} (x) |, M_{2} = \sup_{x \in ℝ} | f^{″} (x) |

។

នោះ $f^{'}$ ទាល់លើ $ℝ$ និង $M_{1} \leq \sqrt{2 M_{0} M_{2}}$ .

សំរាយបញ្ជាក់

ដើម្បីស្រាយបញ្ជាក់វិសមភាពនេះ យើងត្រូវប្រើទ្រឹស្តីបទតេល័រ

តាង $a \in ℝ_{+}^{*}, x \in ℝ$ ។ ដោយអនុវត្តវិសមភាពតាយល័រ-ឡាហ្ក្រង់ (Taylor-Lagrange Inequality) ចំពោះ $f$ នៅលើចន្លោះ $[x - a, x]$ និង $[x, x + a]$ យើងបាន

{\begin{matrix} | f (x - a) - (f (x) - a f^{'} (x)) | \leq \frac{a^{2}}{2} M_{2} \\ | f (x + a) - (f (x) + a f^{'} (x)) | \leq \frac{a^{2}}{2} M_{2} \end{matrix}

ដោយ

| f (x + a) - f (x - a) - 2 a f^{'} (x) |

\begin{matrix} = | (f (x + a) - (f (x) + a f^{'} (x))) - (f (x - a) - (f (x) - a f^{'} (x))) | \\ \leq a^{2} M_{2} \end{matrix}

ដូច្នេះ

| 2 a f^{'} (x) | \leq | f (x + a) - f (x - a) | + a^{2} M_{2} \leq 2 M_{0} + a^{2} M_{2}

។

ហេតុនេះ

M_{1} \leq \frac{M_{0}}{a} + \frac{1}{2} a M_{2} \leq \sqrt{2 M_{0} M_{2}}

ដែលយើងបានប្រើប្រាស់វិសមភាព AM-GM (AM-GM inequality) នៅជំហានចុងក្រោយគេ។

វិសមភាព កុលហ្គោម៉ូរ៉ូវ

សំរាយបញ្ជាក់

បញ្ជីណែនាំ

ស្វែងរក